Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ревуженко А.Ф. -> "Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды" -> 14

Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.

Ревуженко А.Ф. Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды — Н.: Наука, 2012. — 327 c.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка): matematanaliz2012.pdf
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 124 >> Следующая

Уместно привести следующее сравнение. На заре становления натурального ряда счет велся таким образом: один, два, три, четыре, много. В случае (9) имеем похожую ситуацию: один, два, три, ... w,...v,...L — много, бесконечность. Теперь о содержательности теории. Известно, что уже при L = w теория является содержательной (классический анализ). Можно надеяться, что и при больших значениях L = ww, е и т.д. также будут получаться содержательные теории. Остановимся на случае LL = е. Ясно, что любые операции
типа сложения, умножения, введения в степень и предельного перехода limit будут приводить либо к бесконечности, либо к результату в пределах границы L = е. Единственная операция, которая может дать другой результат — это предельный переход в смысле Lim. Например, предельный переход Lim для следующей подпоследовательности из (9):
Lim|2 • ww, 2 • ww°, 2 • ww°}nраз...^ = 2e. (10)
В результате такого перехода получается вполне конкретное элементарное число
2е = Lim(2 • 1; 2 • 222, 2 • 333,...2 • nnn}nраз...^.
То есть для построения любого объекта за границей LL (равно как и в пределах этой границы) достаточно располагать последовательностями только конечных натуральных чисел.
Таким образом, в теории, основанной на ряде (9), будут иметь место все теоремы, утверждения и формулы, в которых не используются предельные переходы типа (10) и условие неограниченности продолженного натурального ряда. Для решения многих прикладных задач этого будет, по-видимому, достаточно.
Если же возникнет необходимость повышения разрешающей способности теории, то ряд (9) можно продолжить дальше. Операций сложения, умножения и возведения в степень для этого не хватает. Поэтому в арсенал наших средств необходимо добавить еще один — самый эффективный инструмент продолжения ряда:
50. Если продолженному натуральному ряду принадлежат числа
v 1 < v2 <...< vn <..., vn = Limv„m,
m
которые удовлетворяют специальным дополнительным условиям, то этому ряду может принадлежать и число
Л = Lim v nn. (11)
n
Специальные условия сводятся к тому, чтобы новое число Л не нарушало линейного порядка между числами, которые уже отнесены к «натуральным». Иными словами, за пределами границы L = е операция (11) сама по себе уже не гарантирует линейного порядка. Поэтому условие линейной упорядоченности 30 теперь не вытекает из условия 20, 50 и должно ставиться независимо.
Рассмотрим примеры. Пусть «натуральный» ряд (9) ограничен числом L = е. Включим это число в состав ряда. Дальше будем пользоваться только условием замкнутости 20, т.е. операциями сложения,
умножения и возведения в степень. Операцию (11) исключаем. Этими средствами ряд (9) продолжается до членов следующего вида:
1, 2, 3... w...е,...ее,...ее'}nраз,...< L = е4, (12)
где е4 = Lim ее<:}w раз.
n
Операция Lim использовалась только для подсчета границы ряда. Включим теперь новую границу ряда в его состав и продвинемся до следующей границы е5 и т.д. и т.д. Далее границу можно отодвинуть, применяя операцию (11) к последовательности предыдущих границ рядов:
е1 = w, е2 = ww, е3 = е, е4,...en,—
Первая граница относится к изначально заданному натуральному ряду. Граница ww относится к продолжению ряда с использованием условия 10 и операций сложения и умножения. Граница е относится к ряду (9), граница е4 — к ряду (12) и т.д. Дальше получаем границу, которую обозначаем как ew = Lim en. Продолжая процесс, мы видим, как ранее построенный ряд постепенно перемещается в индексы границ новых, все более длинных рядов. Ясно, что границы для самих границ рядов на этом пути не существует.
Таким образом, мы всегда можем построить «натуральный» ряд, граница которого превосходит любое наперед заданное элементарное число А. Предположим противное. Каждый член v построенного (ограниченного) «натурального» ряда (9) меньше числа A: v < A. Можно принять, что все приближения А есть числа натуральные. Добавим число А к нашему ряду (9). В результате получим новый ряд
1, 2, 3,. w,_,v,__A, A + 1,. (13)
Числа вида A + v, A ¦ v, A v, vA, Aa , ... превосходят любое число v из исходного ряда и между ними есть линейный порядок. Поэтому ряд
(13) линейно упорядочен и может рассматриваться как новое продолжение натурального ряда. Интересно отметить, что пробел перед числом А в ряде (13) является весьма широким. Он заведомо превышает величину А - А / v для любого числа v из чисел, предшествующих А. Действительно, предположим, что нашлось «натуральное» m (из ряда, построенного до присоединения числа А) такое, что А / v < m. Следовательно, А < v ¦ m, что противоречит исходному условию замкнутости ряда. Таким образом, граница ряда (13) превосходит наперед заданное число А. Выше речь шла только об ограниченных продолжениях натурального ряда. Такие продолжения являются счетными.
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 124 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed