Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
a = 2Г|а + 1, Р = 2Гv.
Указанные числа удовлетворяют неравенству (6).
Рассмотрим процесс развертывания «натурального» ряда и вопрос о линейном порядке между его членами. Условие замкнутости ряда относительно сложения и умножения позволяет развернуть ряд до чисел wp, где р — любое конечное натуральное число:
1, 2, 3,...,w,... w2,..., wp + к1 wp-1 +... + кр-1 w + кр..., (7)
к 1,...кр — конечные натуральные числа.
Легко видеть, что с числами (7) проблем с линейным порядком нет. Действительно, числу (7) отвечает функция
у = x р + к 1x р-1 +... + кn-1 x + kn.
Здесь р — фиксированное число, а переменная х — неограниченно возрастает. Поэтому знак многочлена при достаточно больших х определяется знаком старшего члена. Следовательно, числа (7) — положительны. Вычитание двух чисел даст число, знак которого также будет определяться знаком старшего числа. Таким образом, линейный порядок здесь есть.
Перейдем теперь к числу ww и развернем его до многочлена, содержащего любое, но конечное число слагаемых:
ww + к 1 и®-1 +... + к 1 w + к р.
Здесь также знак будет определяться старшим членом и линейный порядок будет всегда. Аналогичная ситуация будет и при переходе к
большим числам. Таким образом, продолженный натуральный ряд можно представить в следующем виде:
1, 2, 3,... w, w + 1,...2w, ... w2...
wp + к 1 wp-1 +... + kp-1 w + к p,...
(8)
,, w . 1.1 ,. w-1 . . 1.1 . ,. 0
w + к 1 w +... + kg, ... w
где все коэффициенты представляют собой конечные натуральные числа. Главным здесь является то обстоятельство, каждое «натуральное» число представлено конечным числом слагаемых.
Нетрудно показать, что если указанные ограничения снять, то линейный порядок ряда может нарушиться. Для примера возьмем разложение функции
2 4 6 8
, X X X X
cosx = 1 - — + — -------+-----... .
2! 4! 6! 8!
Положим
R(x, m) = P(x, m) - Q(x, m),
P(x,m) = (4m)! Q(x,m) = (4m)!
4 8
, X X X
1 + ------- + ------- + ... +
4m
4! 8!
(4m)!
„ 4m- 2
X2 X6 X
2! 6! ... (4m - 2)!
Функция cos x при увеличении х неограниченное число раз меняет свой знак. Ясно, что при увеличении n этим свойством будет обладать и многочлен R (х, m), если положить х = n и, например, m = 10n Образуем два элементарных числа:
P = Lim P(n, 10n), Q = Lim Q(n, 10n).
n^w n^ w
В выражениях для их приближений фигурируют только операции сложения и умножения конечных натуральных чисел. И тем не менее числа Р и Q между собой несравнимы: их разность определенного знака не имеет.
Таким образом, условия 10, 20 обеспечивают выполнение условия линейной упорядоченности 30.
Построенный «натуральный» ряд является ограниченным. Операции сложения, умножения и возведения в степень позволяют про-
ww
должить ряд до членов типа w , где число ступеней может быть любым, но конечным натуральным числом. Следовательно, для любого числа ряда v < L* = е = www }w раз.
Может ли ограниченный ряд служить основой математического анализа? Общий ответ на этот вопрос является положительным. Например, весь классический анализ основан на конструкции самого
г*
короткого натурального ряда, ограниченного числом L = w.
Как уже отмечалось, любая теория имеет собственную разрешающую способность. Факт ограниченности ряда и его граница L определяют возможности соответствующей теории. Это обстоятельство полно проявляется в конструкции объектов «нуль» и «бесконечность», которые должны быть определены в рамках любой теории. Поясним данное утверждение. Запишем продолженный натуральный ряд в следующим виде:
1,2,3... w,... v,...< L. (9)
Члены ряда будем использовать для нумерации последовательностей того же порядкового типа, что и сам ряд (9).
Пределы последовательностей такого типа будем обозначать символом limit. При этом v можно рассматривать как переменную, пробегающую значения (9). Необходимо принять следующее
40. Условие достаточной длины продолженного натурального ряда. Для любого «натурального» ряда (9) в рамках теории, которая строится на его основе, понятия «нуль» и «бесконечность» должны быть определены как объекты
limit—, limitv. v
При этом «под достаточностью длины ряда (9)» понимается достаточная содержательность соответствующей ему теории.
Из данного условия следует, что теория заведомо не будет различать числа, если они отличаются на 1/ L . Точно так же будут отождествляться (с бесконечностью) числа L*, L* + 1,2L* и др. Тем не менее в таком виде условие 40 является неопределенным. Ниже его смысл будет уточняться.
