Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
Определение 55.2. Значение интеграла (1) будем называть числом или количеством вещественных чисел на отрезке [0,1] в смысле интеграла от 8-функции.
Теорема 55.1. Число вещественных чисел на отрезке [0,1] в смысле интеграла от 8-функции равно 1/1, где l — диаметр вещественного числа.
Итак, выше была рассмотрена решетка на отрезке [0,1]. Теперь можно перейти к решетке на пространственных осях OXi, i = 1,2,3, и временной оси OT. В результате придем к определенной пространственно-временной решетке с шагом l по пространству и шагом t по времени. Формулу (1) нетрудно распространить на пространственный случай. В результате получим, что в единичном кубе количество точек с вещественными координатами равно 1/13, а моментов времени на единичном интервале — 1/1.
Таким образом, данная модель сопоставима с известными концепциями дискретного пространства и времени [51]. Следует подчеркнуть, что построенная решетка является изотропной в отличие от дискретных решеток, которые строятся на обычных вещественных осях. Как уже отмечалось, в неархимедовом анализе параметры решетки l и t — это актуальные бесконечно малые числа, в теориях же дискретного пространства и времени аналогичные параметры представляют собой хотя и очень малые, но конечные числа. Насколько принципиально это различие? Определенный ответ на этот вопрос подсказывается идеями работы [93]. Изложим его в отдельном параграфе.
§ 56. Неархимедов анализ и проблема «догмата натурального ряда»
В 1973 г. появилась статья П.К. Рашевского «О догмате натурального ряда» [93]. В качестве эпиграфа там приведено высказывание Кронекера: «Целые числа создал Господь Бог, все остальное — дело рук человеческих».
Натуральные числа
1,2,...,11,12,...,1023 + 1,1023 + 2,...
заданы изначально. Считается, что все числа в натуральном ряде имеют одинаковый статус. Например, пара чисел 11,12 является по статусу точно такой же, как и пара чисел 1023 + 1 и 1023 + 2. Однако если говорить о прикладной математике, то любому специалисту в этой области ясно, что статус чисел 1023 + 1,1023 + 2 является совсем не таким же, как чисел 11,12. Основная идея статьи [93] состоит в том, что данное различие должно быть введено и в теоретическую математику. По-видимому, можно утверждать, что построения, которые сделаны выше, в определенном смысле выполнены в направлении, указанном П.К. Рашевским.
Вернемся к натуральному числу 1023, которое означает порядок числа молекул газа в закрытой трехлитровой емкости. Каким образом физик «добрался» до этого числа? Его путь можно представить себе таким. Вначале было число 1. Например, изучалось поведение одной молекулы газа в закрытой емкости. Затем было число 2 — изучалось столкновение двух молекул между собой и со стенками емкости. Затем были, может быть, числа 3 и 4. И затем был совершен скачок сразу к числу 1023. Есть все основания считать, что в результате этого мы перешли к новой реальности. Раньше это были отдельные
молекулы, теперь — это объемы газа в литрах. В этой товой реальто-сти говорить о числах 1023 + 1, 1023 + 2 уже ^ет ткакого смысла. Но в товой реальтости впол^е определетый смысл имеют числа 0,5 • 1023 , 3 • 1023 и т.д. То есть мы видим, что в товой реальтости число 1023 превратилось в масштаб этой реальтости.
Нетрудто заметить, что все эти обстоятельства имеют место также и ^а ^еархимедовой прямой. Едижтвежое отличие состоит только в том, что вместо числа 1023 мы ввели число w.
Весь ^акопле^^ый опыт показывает, что переход к товому масштабу всегда совершается скачком. Невозможно представить себе, чтобы переход от чисел 1, 2, 3,... к числу 1023 был соверше^ без з^ака пробела. Хотя формальто здесь можто было бы обойтись без пробела, выписывая шаг за шагом все числа от 1 до 1023. В ^еархимедовом а^ализе такой возможности ^ет даже формальто: ряд 1, 2, 3, ...w всегда долже^ содержать з^ак пробела — мтоготочие. Проблема описа-жя функций, их производшгх и интегралов в области определежя, обоз^аче^^ой з^аками пробелов, — это од^а из остовшгх проблем ^еархимедова математического а^ализа. Выше о^а была реше^а путем введежя кощепции точки горизонта.
После перехода через точку горизонта мы попадаем в товую ре-альтость с товым масштабом. Например, при переходе ^а первый мегауровет число ю выступает как масштаб этой реальтости. Это хорошо видто из определежя производтк типа
df (h) = df (x-1w) = ]imit f (wx-1 + wDx-1) - f (wx-1) (1) дц d(x-1 w) wAx-1 ^ 0 wDx-1
Подводя итог, можно сказать, что есть ос^ова^ия для коштатации оп-редележых параллелей между идеями ^еархимедова математического а^ализа и идеями отаосительто «догмата ^атураль^ого ряда» [93].
В ^еархимедовом математическом а^ализе
10. Процесс перехода от веществежых чисел 1, 2, 3. к числу ме-гауров^я w совершается скачком, путем пересече^ия точки горизонта.
20. После пересечежя горизонта число w выступает как масштаб товой реальтости. Это з^ачит, что в аппарате ^а первый пла^ выходят по^ятия типа (1) и, з^ачит, переметые, пропорцио^аль^ые ве-личи^е w.
