Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
Y = (X - 0,5)(X - 0,7)
в результате должно получиться число 2. По-видимому, самым подходящим инструментом для нашей цели является 5-функция Дирака [136, 137]. Располагая понятием интегрального функционала от функции, заданной на неархимедовой прямой, можно, следуя [136, 137], перенести в неархимедову область понятие обобщенной функции и, в частности, понятие 5-функции. Нетрудно также дать обоснование для рассмотренных ниже выкладок. Упрощая ситуацию, неформально можно сказать, что интегралы от 5-функции позволяют подсчитать число точек, в которых функция обращается в нуль. Например,
1
j5[(X - 0,5)(X - 0,7)]dX = 2.
0
Следовательно, условие согласованности выполняется.
Рассмотрим поставленную выше задачу. Пусть неархимедова переменная пробегает следующие значения:
X = х + X, 0 < X < 1,
где x = stX — ядра вещественных чисел, а X — переменная, пробегающая значения по всем микроуровням. Положим F(X) = 5(X - x). Значит, X - x = 0 в точках X, совпадающих с ядрами вещественных чисел X = stX. В остальных точках аргумент (X - х) отличен от нуля. Поэтому величина интеграла
1
X = j 5(X - stX)dX (1)
0
дает ответ на поставленный вопрос. Подсчет интеграла не представляет больших трудностей. Так как
_ q _ _
X - x = X, j 5(X) dX = 1,
-p
то интеграл (1) равен
Здесь, как и прежде, l = p + q — это расстояние до точки горизонта. Само число l принадлежит к первому микроуровню. Например, возможно, что l = E. Тогда
X = w. (3)
Если же l = 0,5E или 3E, то
X = 2w; w,... (4)
3
и т.д. То есть однозначного ответа интеграл не дает, но дает «порядок» величины.
Что означает полученный результат? Он означает, что подсчет числа точек с помощью арсенала средств анализа-2 приводит к результату (3), (4).
Его можно пояснить таким образом. Каждое вещественное число занимает определенную зону на существенной прямой (см. рис. 2.2). Следовательно, можно поставить вопрос о диаметре вещественного числа. Ясно, что при степени разрешения 1 диаметр вещественного числа равен нулю. Точнее, он равен вещественному числу 0вещ. При разрешении степени 2 диаметр вещественного числа можно оценить любым актуальным бесконечно малым числом. Например, можно утверждать, что диаметр вещественного числа оценивается величиной Е. Отсюда в определенном смысле можно заключить, что число самих вещественных чисел на отрезке [0,1] оценивается величиной, равной 1/E = w. Такая оценка совпадает со значениями интеграла (2), (3).
Итак, количество вещественных чисел на отрезке [0,1] можно оценить любым актуально бесконечным числом, например числом w. (Остановимся именно на этой оценке.)
Число w — это класс эквивалентности последовательностей, в который входит последовательность натуральных чисел 1, 2, 3.... Поэтому w ассоциируется прежде всего со счетной мощностью. Мощность же множества вещественных чисел — континуум — больше, чем счетная. Как соотнести полученную выше оценку с этим фактом? Прежде всего отметим, что w — это не количественное, а только порядковое число. Можно утверждать только, что w больше, чем 1, 2,... n... и не более того. Число (w - 1) тоже больше, чем 1, 2, 3., но меньше, чем w, и т.д. Попытаемся придать числу w некоторый коли-
чественный смысл. Обратимся опять к опыту пересчета отдельных пределов. Пусть имеем последовательность 0,1, 2, 3, 4. Число 4 — порядковое. Если придать смысл числу чисел, меньших 4, то этот количественный смысл можно будет приписать и порядковому числу 4. Ясно, что в данном подсчете мы должны потребовать, чтобы разность чисел, участвующих в подсчете, была не меньше, чем 1. Поступим так же и с числом w. Пусть а* — ядра вещественных чисел из отрезка [0, 1]. Мы имеем континуум чисел a*w, меньших, чем w: 0 < a*w < w. С другой стороны, любая пара из указанных чисел отличается между собой больше, чем на единицу: если a * < b *, то a* w + 1 < р *w. Таким образом порядковому числу w можно приписать количественный смысл, оценивающий континуум «отдельных» объектов, отличающихся друг от друга больше чем на единицу. Конечно, данное рассуждение строгим назвать нельзя, но оно, по крайней мере, позволяет «примириться» с полученной выше оценкой.
Получение строгого результата трудностей не представляет. Для этого достаточно формализовать изложенные выше представления о диаметре вещественного числа и количестве вещественных чисел.
Определение 55.1. Сумму расстояний до точек горизонта l = p + q, которое фигурирует в формуле для вычисления определенного интеграла (1), будем называть диаметром вещественного числа.
Основанием для такого названия служит формула (2), согласно которой общее число вещественных чисел, расположенных на отрезке [0,1], равно 1/1. Точнее было бы данный результат сформулировать в виде отдельного определения и теоремы.
