Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
Объекты 1, 2, 3. заданы изначально, причем заданы в своем естественном порядке. Функции, которые ставят в соответствие любому номеру n некоторые рациональные числа, назовем операторами
первого рата. Арифметические операции и частичтш порядок между функциями введем естестветым образом:
(f + g)(n) = f (n) + g(n), f (n) = M, g(n) Ф 0
g g(n)
и т.д. Частичшш порядок введем следующим условием: f < g, если f (n) < g(n) для любого n.
Итак, теперь у ^ас есть ^абор различшгх функций. Поэтому можто ввести оператор, который уста^авливает отаошетя между функциями: Hf = g. Присвоим такому оператору рает 2. Под суммой двух операторов раета 2 будем потмать оператор того же раета такой, что
(H + G) f = Hf + Gf.
Другие операции вводятся а^алогич^о. Примем, что H < G, если Hf < Gf для любой f.
Таким образом, мы получили частичто упорядоче^^ую совокуп-тость операторов второго рата. Далее вводим операторы, которые переводят операторы второго рата в операторы второго рата. Вводим также арифметические операции и частичшш порядок. Операторам датого вида присвоим рает 3. Затем вводим операторы ра^ га 4 и т.д. Таким образом, мы можем продви^уться до операторов рата N, где N — произвольтое ^атураль^ое число.
Отметим одто обстоятельство. Любой оператор рата к можто рассматривать как частаый случай оператора более высокого раета. Например, постояжую m можго рассматривать как функцию-ко^ станту f (n) = m для любого n. Такую функцию будем обоз^ачать через m. Далее функцию-кожташу m можто рассматривать как оператор, который любую функцию g(n) переведет в функцию-кожташу m. Для оператора оставим преж^ее обоз^аче^ие m и т.д. Указатое соответствие позволяет без труда ввести операции, включая операцию срав^е^ия, между операторами разтк раетов.
Теперь у ^ас все готово, чтобы перейти к операторам качестве^ то тового рата. Такие операторы ставят в соответствие операторам рата N другие или те же самые операторы раета m < N. Главтое в этом определежи состоит в том, что число N может быть любым из ^атураль^ого ряда 1, 2, 3... . Таким образом мы приходим к операторам с тражфиттаыми томерами. На остове операторов с ко^еч^ы-ми и тражфиттаыми томерами можто строить ^еархимедовы числовые системы и соответствующие теории. Ясто, что дажые по-строетя будут эквиваленты тем, которые возможтг по схеме, изложежой в § 53.
Глава 14 Замечания общего характера
§ 55. Вещественная решетка в неархимедовом пространстве и времени
Есть немало оснований для предположения о том, что природа реального пространства и времени является дискретной. Теория дискретного пространства и времени имеет богатую историю и восходит к древнегреческим философам [51]. Неархимедов анализ позволяет рассмотреть модель континуума, которую можно отнести к определенному приближению структуры дискретного пространства и времени.
Действительно, классический континуум (например, отрезок [0,1]) с точки зрения анализа-2 есть собрание ядер и ореолов вещественных чисел от 0 до 1. Отбросим ореолы и оставим только ядра вещественных чисел. Данное образование — это не что иное, как вещественный уровень отрезка [0,1] неархимедовой прямой. При этом точки всех микроуровней из данного отрезка изъяты. Указанную совокупность сплошной назвать нельзя, хотя она и является изоморфной совокупности вещественных чисел от 0 до 1. Полученную совокупность можно использовать в модели дискретного пространства. Основное свойство дискретного пространства состоит в наличии фундаментальной длины р. Отсюда следует, что число точек на отрезке [0,1] будет конечным и равным 1/ р. Соответственно число точек в единичном объеме равно 1/ р3, а число мгновений на единичном отрезке времени — 1/t (t — фундаментальное время). Неархимедов анализ приводит к аналогичным результатам. Отличие состоит только в том, что число точек является не конечным, а актуально бесконечно большим (но тем не менее не бесконечным).
Остановимся на обосновании последнего утверждения. Задача состоит в том, чтобы дать оценку количества ядер вещественных чисел на отрезке неархимедовой прямой [0,1].
Начнем с более простого вопроса: сколько отдельных предметов находится в заданной их совокупности? Поиск ответа на этот вопрос приводит к понятию натурального числа. Понятие натурального числа, в свою очередь, приводит к понятию рациональных и вещественных чисел. На этой основе строится математический анализ-1. Далее строится неархимедова числовая система и математический
анализ-2. Теперь мы хотим вернуться к исходному вопросу на новом уровне. Попытаемся использовать аппарат анализа-2 для подсчета совокупностей, которые, во-первых, нельзя назвать отдельными предметами и, во-вторых, нельзя сказать, что каждый из предметов непосредственно задан.
Инструмент подсчета должен удовлетворять условию согласованности. Это значит, что если применить его для подсчета количества отдельных и определенно заданных предметов, то мы должны получить в результате соответствующее натуральное число. Например, при подсчете числа нулей у функции
