Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
w(3) = Lim v.
Теперь можно сделать следующий шаг в продолжении натурального ряда типа 2:
1,2,...w(2),...w(3), w(3) + 1,.... (3)
При построении ряда (3) необходимо использовать дополнительные условия такого же рода, что и при построении ряда (2) (п. 5 § 3).
Дальше переходим к следующим блокам, которые повторяют блоки 7-11 с прибавлением единицы к номеру типа и т.д. В результате мы приходим к натуральному ряду типа N:
1,2,...w(2),...w(3)..., w(N), w(N) + 1,... (4)
и соответствующему математическому анализу-N. Здесь N — произвольное натуральное число типа 1.
Теперь все готово, чтобы перейти к числовым системам и теориям с качественно новой степенью разрешения. Возьмем последовательность (4) без ограничения величины N. Объединим (4) с другими последовательностями, которые совпадают с (4) начиная с некото-
рого фиксированного номера из (4). Для данного класса введем обозначение
w(*) = Lim (1,2,... w(1),...w(2),...w(N), w(N) + 1,...).
Возникает вопрос: какой смысл можно придать символу ш? По логике вещей ш — это указание на тип, больший любого фиксированного типа с номером N. У нас уже есть математический объект, который больше любого конечного натурального числа, — это число w = w(2). Казалось бы, ж = w является подходящим обозначением для нового типа. Однако это не совсем так. Дело в том, что вполне ясный и конкретный смысл имеют числа как большие, чем w, так и меньшие w. Например,
w + 1,...еw,...л/ш,... —,... w - 2.
10
Символ же ш имеет природу трансфинитного порядкового числа [105, 133-135]. Построить объекты с номерами ж + 1, ж + 2... не составляет труда. А вот тип с номером ж - 1 и тем более с номерами 4ж, еж представить себе невозможно (по крайней мере, в рамках рассматриваемой здесь концепции).
Нетрудно, однако, заметить, что в идейном плане процедура построения новых последовательностей совпадает с процедурой построения новых классов Бэра разрывных функций [105, 133]. В классификации Бэра совокупность функции определенного класса порождает одну функцию следующего класса. Функции первого класса заданы. Так появляются функции, принадлежащие классам к 1, к2...kN.... Совокупность указанных классов без ограничения N порождает класс, индекс которого обозначается в [133] через w. У нас обозначение w занято, поэтому вместо w в смысле [133] используем символ ж. Функции классов Бэра кь...kN... кж порождают функции следующего класса, для которого берется обозначение (ж + 1) и т.д.
Точно так же, разворачивая натуральный ряд типа ш, можно прийти к числу типа ж + 1:
w(s+1) = Lim(1,..w(1),...w(N),...w("), w(") + 1,...).
На основе данного числа и предыдущих чисел можно построить очередное продолжение натурального ряда.
В п. 5 § 3 рассматривалась аналогия между «натуральным» рядом, построенным на основе числа w = Lim n, и вторым числовым классом [105, 135]. Если при построении следующих отрезков натурального
ряда отказаться от использования чисел типа w(3) - 1, w(3)!, w(3) - w и других, подобных им, то можно сказать, что описанная выше процедура аналогична процедуре построения трансфинитных чисел, принадлежащих третьему и последующим числовым классам [105].
Таким образом, в результате мы приходим к неархимедовым прямым и соответствующим теориям с любыми трансфинитными номерами. Степень сложности данных прямых превосходит всякое воображение. По-видимому, она превосходит и любые теоретические, а тем более практические потребности. По крайней мере, сейчас не видно никаких предпосылок для построения математического анализа не только для прямой типа ш, но даже для прямой типа 3 (не считая задачи измерения углов касания).
§ 54. Операторы как исходный материал для построения теорий с высокой степенью разрешения
Выше разрешающая способность теории связывалась с порядковым типом последовательностей, классы эквивалентности которых образуют соответствующую числовую систему. Проще говоря, разрешающая способность связывалась с «длиной» натурального ряда соответствующего типа. Следует подчеркнуть, что каждый шаг в увеличении «длины» натурального ряда — это не количественное, а именно качественное усложнение его природы.
Факт качественного усложнения можно пояснить, если вместо последовательностей рассматривать иерархию соответствующих им операторов. Операторы вводятся как новые объекты, которые выражают определенные отношения между уже построенными объектами. В этом состоит одна из самых фундаментальных идей всей математики. Коль скоро система отношений является объектом, то можно рассмотреть отношения между отношениями. Это будут объекты следующего качественного уровня и т.д.
В реальной жизни ситуация в общем такая же. Об отношениях мы говорим как о вполне определенном реальном объекте: отношения строятся, дают трещину, укрепляются, разрушаются и т.д. Слова «дружба, любовь» и другие подобные им имеют такой же статус, как имена существительные, обозначающие вполне конкретные предметы, например дерево или авторучка.
