Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
u(х + р, 0) - u(x, р) = R. (7)
Из (7) заключаем, что
u(х + р, 0) - u(х, 0) = J Эм ^ X) dX, +R. (8)
0 d'X
Правая часть должна быть задана как функция от искомых переменных и координат. Поэтому (8) представляет собой уравнение в бесконечно малых разностях. В качестве первого приближения рассмотрим уравнение, которое получается из (8) предельным переходом при р ^ 0. Данное уравнение относится уже к
дифференциальным относительно производной Su(x,0) / дх.
Аналогичные уравнения для проскальзываний между зернами имеют вид
ди^х i, х 2,0,0) ди^х i, х 2,0,0) du2 ды2
ахi ^i , дх2 ^2 , (9)
du2 du2 1 д/1(х i, х 2,0,0) dui du i 1 д/i
дх i dX i Gi дх i ’ дх 2 дХ 2 G2 дх i ’
где Gl , G2 — пластические модули. Первые два уравнения констатируют отсутствие дилатансии, последние два — описывают независимые проскальзывания на контактах из различных семейств (см. рис. 12.2).
Подведем итог. Получена система, которая включает в себя одно уравнение вида (4), четыре уравнения (5), три уравнения (6) и четыре уравнения (9), т.е. получено 12 уравнений относительно четырех неизвестных функций /, ui, i = 1,2. Система, тем не менее, переопределенной не является. Все дело в том, что каждая из функций зависит не от двух, а от четырех аргументов: /i = /(хl,х2,Xl,Х2), ut = ut(хi,х2,X1,Х2). Природа «дополнительных» уравнений связана именно с новыми пространственными переменными, которые появляются в неархимедовом случае. Эту ситуацию проще всего пояснить на самом простом примере линейно-упругого типа.
Пусть тело является линейно-упругим и на вещественном масштабном уровне. Этот факт описывается четырьмя уравнениями относительно «1, u2, f 1, f2. Пусть, кроме того, известно, что имеет место непрерывность между вещественным и первым микроуровнем. Для описания этого факта требуется уже восемь уравнений:
dfi(х 1х2 ’ X1X2) = dfi dui = dui (10)
dXj dXj ’ dXj dXj
Решение данных уравнений имеет вид
fi = fi(х 1 + X1,х2 + X2), Ui = Ui(х 1 + X1,x2 + X2). (11)
Таким образом, восемь уравнений_(10) содержат только ту информацию, что компоненты векторов f и U в действительности зависят не от четырех, а только от двух пространственных переменных. В результате приходим к четырем уравнениям упругости относительно четырех функций (11). Каждая из функций зависит только от двух пространственных координат. Система замкнута, задача корректна.
В рассматриваемой пластической модели ситуация будет аналогичной. В [23, 24, 26, 27, 29] описана численная реализация данной
модели и решен ряд задач о деформировании горного массива во-
круг выработок.
Глава 13 Иерархия неархимедовых прямых и теорий, имеющих все большую разрешающую способность: анализ-1, 2, 3...
Отметим еще раз следующее. Математический анализ — это инструмент теоретического исследования. Как и любой инструмент, анализ обладает вполне определенной разрешающей способностью.
Разрешающая способность классического анализа (анализа-1) определяется Первой аксиомой разрешения:
если относительно двух вещественных чисел а и b известно, что
|a- b|< -, (1)
n
где n — любое число из натурального ряда
1,2,3,... n,..., (2)
то числа а и b различить между собой невозможно: a = b.
Разрешающая способность теории следующего уровня (анализа-2) определяется Второй аксиомой разрешения:
если относительно двух существенных чисел s и t известно, что
| s - 11< 1, (3)
V
где v — любое число из натурального ряда типа 2
1,2,3,... n,... w, w + 1,... v, ... , (4)
то числа s и t между собой не различаются: s = t.
Степени разрешающей способности указанных теорий мы приписывали номера 1 и 2. Проблема измерения все «более острых» роговидных углов требует создание теорий с разрешением 3, 4 и выше.
Следует отметить, что потребность в создании теории с разрешением
2 диктовалась не только проблемой измерения роговидных углов, но и рядом задач, указанных во введении. Для построения теорий с разрешением 3, 4. в настоящее время не видно ни одной задачи (за исключением «вечного стимула» — измерения роговидных углов).
Поэтому мы ограничимся только кратким описанием алгоритма построения подобных теорий.
О разрешающей способности классического анализа коротко можно сказать так: разрешающая способность «определяется длиной натурального ряда (2)», понимая под этим выполнение условий (1) и (2). Точно так же можно принять, что разрешающая способность анализа-2 определяется «длиной продолженного натурального ряда
