Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
иметь .максимум, поскольку все наши выражения будут отрицательными, но при р=р0-)-Ё периодическое решение не будет более соответствовать максимуму р, поскольку одно из этих выражений станет положительным.
Теоремы о максимумах
331. Для того чтобы идти дальше, необходимо доказать одно свойство максимумов; пусть У — функция трех переменных хх, х2 и г, разложимая по возрастающим степеням этих трех переменных. Я предполагаю:
1) что при хх=хг=0 функция У обращается в нуль так же, как и ее производные йУ1йхх, йУ1йх2, и это имеет место, каково бы ни было ъ\
2) что при хг=х2=0 У имеет максимум при г > 0 и минимум при г <0.
Я говорю, что уравнения
ду ду_ _ 0
(1х 2 (1х 2
будут допускать вещественные решения, отличные от решения
х ^—*г2—0 ?
Действительно, разложим У по степеням г, и пусть
У=У0+2У1+2!!У2+--------
Функции У0, Ух, У2, . . . разложимы, в свою очередь, по степеням хх и х2\ но эти разложения не будут содержать пи членов степени 0, ни членов степени 1, так как при любом г мы должны иметь
(1хх йх2
при Х}=Х2=0.
Кроме ТОГО, У о также не содержит членов второй степени, в противном случае при переходе от г > 0 к г <[0 мы не смогли бы перейти от случая максимума к случаю минимума.
Напротив, Ух будет содержать члены второй степени, по крайней мере, мы это предполагаем. Тогда рассмотрим уравнения
0 - | 2 ХХл ХХзл.
Лхх ‘ <1хх 1 дхх л-* ?
п ду0 . дух . ,ду2 .
0=дГ2+гд^+г 2^ + ...,
о разрешении которых идет речь.
206
Новые методы небесной механики. III
Пусть и„ и и\ — члены наинизшей степени функций У0 и У^ согласно тому, что мы видели, и1 — второй степени, а С/0 — степени р, где р больше двух; положим
(р — 2) [а = 1; хг = уД; х2 ~ V г = ± гр~\
Функцию № можно разложить по степеням Р, пусть
Очевидно, мы имеем
РУ0 = + и,Г2 + ийГр =±и[+ и’„
где и\ = и^~2 и и'о=и^~р — два однородных нолинома относительно у1 и у2, один — степени 2, другой — степени р. Я беру знак + или — согласно тому, каким я принял г= +№~2. Выражение
ау_ <т1
<1х | <1х2 Лх2
будет также разложенным но степеням I, когда мы заменим в нем х1 и х2 на урЬ и у2Р, оно будет содержать множителем определенную степень Р, разделим его на этот множитель, и пусть Н есть частное. Это частное, будучи разложенным по степеням I, запишется в виде
Н = Н0 -у + 12Н2 +---------
Н0 будет первым из выражений
(1]Ук йи\__дЛ <1у1 йу2 йу2 <1ул ’
не обращающимся в нуль.
У равнения
0
можно заменить следующими:
и я докажу что можно найти величины у из этих уравнений в виде рядов, расположенных по целым и дробным степеням t, обращающихся в нуль вместе с I, с вещественными коэффициентами.
Для этого достаточно установить, согласно пунктам 32 и 33, что при 1 = 0 эти уравнения допускают вещественное решение нечетного порядка.
Периодические решения второго рода
207
Но при ?=0 эти уравнения сводятся к
*о = 0, ^ = 0
или же
йр, (1у2 (1у2 йух
+ ^ + ^=0. (3)
— йух йух
Уравнение (2) означает, что если предположить, что уг и у2 связаны соотношением [/'=сопз1;, то РУк допускает максимум или минимум.
Но, если считать уг и у2 координатами точки на плоскости, то соотношение Е7'=сопз1 представит эллипс, так как квадратичная форма и1 (и, следовательно, форма и[) должна быть определенной, чтобы функция V могла допускать максимум или минимум. Но так как эллипс — замкнутая кривая, то функция \Ук должна иметь, по крайней мере, один максимум и один минимум, когда точка уу, у2 будет описывать эту замкнутую кривую.
Следовательно, каково бы ни было постоянное значение, присвоенное и[, уравнение (2) будет допускать, по крайней мере, два корня,
и притом два корня нечетного порядка, ибо мы видели в п. 34, что макси-
мум или минимум всегда соответствует корню нечетного порядка. Впрочем, здесь, когда мы имеем только одну независимую переменную, теорема п. 34 почти очевидна.
При этих условиях следует различать два случая.
Первый случай. и’п не является степенью ?7'; в этом случае мы не имеем тождественно
<1\Уп<т[ <1]упли\ _ 0
Лух <1у2 Лу.г Лу1
Следовательно, мы имеем В/;ь= \У0 и
тт гШо йи[ йи'0йи[ 0
0 йух йу2 (1у2 (1ух
Тогда уравнение Нп=0 однородно относительно ух и у2. Каково бы ни было постоянное значение, присвоенное и\, оно даст нам для отношения ух1у2 одно и то же значение.
Таким образом, мы найдем сначала уг/у2 из уравнения (2) и согласно предыдущему получим, по крайней мере, два решения нечетного порядка.
Пусть Ух/Уъ= — одно из этих решений; положим ук= 0Е1Ц, уг=Л2и и подставим в уравнение (3); получим
и\, = АиГ, и\ = Ви2,
208
Новые методы небесной механики. III
и уравнение (3) нриведется к следующему:
Аир~2 ±В = 0.
Если р—2 — нечетно, это уравнение даст для и вещественное значение
Если р—2 — четное, следует различать два случая.
Если А и В — одного и того же знака, то мы возьмем нижний знак
Аир~2 — В = 0.
Если А и В — противоположных знаков, мы возьмем верхний знак
Аир~г + 5 = 0
и будем всегда иметь для и два вещественных значения.
Во всех случаях эти вещественные решения суть простые.
Таким образом, уравнения (2) и (3) всегда допускают решения нечетного порядка.
