Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Пуанкаре А. -> "Избранные труды" -> 58

Избранные труды - Пуанкаре А.

Пуанкаре А. Избранные труды — Москва , 1972. — 359 c.
Скачать (прямая ссылка): izbrannyetrudi1972.djvu
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 111 >> Следующая

Отсюда вытекает, что Ак и Вк не должны фигурировать в этом соотношении, поскольку эти постоянные всегда умножаются на е±ак‘, а эта показательная функция не может исчезнуть.
Кроме того, С также не фигурирует в нем, поскольку решение
где С — очень малая постоянная, получается из периодического решения, если дать времени бесконечно малое приращение С, и соответствует, следовательно, тому же значению постоянной живых сил, что и периодическое решение.
Наше соотношение, которое не может свестись к тождеству, приводится, таким образом, к равенству
Но если Б — нуль, то член ЫТй* исчезает из формы (3).
Для того чтобы функция 5 допускала максимум или минимум, необхо димо, таким образом, чтобы все количества
имели один и тот же знак.
*# = Т< (г). У і = <РІ (О и для бесконечно близкого решения
*і = Ті (0 + ®1э У і = ТІ (0 + у'г
0=0.
200
Новые методы небесной механики. III
Если имеется только две степени свободы, то существует только одна из этих величин.
Таким образом, если имеется только две степени свободы и если ак — чисто мнимое, то функция S всегда имеет либо максимум, либо минимум,
326. Предположим теперь, что мы находимся в условиях п. 322, так что dS = 2 К*, - У d (Yf + ъ) - (Y{ - ъ - 2т{п) d (А\ + 6,)].
и будем считать Т постоянной. Чтобы функция S имела максимум или минимум, необходимо прежде всего, чтобы существовало периодическое решение
Ъ = ь (0. yt = Ъ (*)•
где
Ь (* + т) = ?I (0» ?!? (* + т) = 9i (*) + 2mF
В таком случае рассмотрим близкое решение
**=?*(*)+*;» ^=?К0+»1.
и ход рассуждений будет таким же, как выше; результаты те же.
Для существования максимума или минимума необходимо прежде всего, чтобы все показатели и* были чисто мнимыми; необходимо затем, чтобы все количества
*7== sin -т== I — NT V—i V—i
были одного и того же знака.
Если считать постоянную живых сил заданной, то D — нуль, член — NTD2 исчезает, и достаточно, чтобы все количества
Мк .
* sin —-
^—1 у'—1
были одного знака.
327. Что произойдет теперь, если уравнения допускают еще другие однозначные интегралы, отличные от интеграла живых сил, и если, следовательно, некоторые из характеристических показателей равны нулю?
Как увидим, и в этом случае можно провести рассуждения, аналогичные предшествующим.
Предположим, например, что наши уравнения допускают кроме интеграла живых сил еще р однозначных интегралов
^1. ......
так что скобки [Е^, ЕЛ], составленные из пар этих интегралов, равны нулю. В таком случае мы знаем из п. 69, что 2р+2 характеристических
Периодические решения второго рода
201
показателей равны нулю. Предположим, что все остальные показатели отличны от нуля.
Тогда мы будем иметь п—р—1 пар постоянных, аналогичных постоянным Ак и Вк, и р-\-1 пар постоянных Ск и Бк, аналогичных постоянным С и Б.
Тогда форма (3) примет вид
2 мк - **) АкВк - 2 МкТБ1,
где 21 НкТБ\ означает сумму членов, аналогичных члену N ТБ2.
Если мы будем считать тенерь значения наших р-\-\ интегралов заданными, то все постоянные Бк будут нулями, члены ИкТБ\ исчезнут, и условием того, чтобы 5 имела максимум или минимум, будет снова условие, чтобы все количества
Мк {е~чт — е'*т)
были одного и того же знака.
Я, впрочем, не останавливаюсь на этом, ибо в случае задачи трех тел мы либо будем иметь дело с ограниченной задачей п. 9, либо сможем уменьшить число степеней свободы, унотребляя методы нунктов 15 и 26.
Но в случае приведенных задач нунктов 9, 15 и 16 существует только один однозначный интеграл — интеграл живых сил — и только два показателя равны нулю, как мы это видели в п. 78.
Решения второго рода уравнений динамики
328. Заменим Т носледовательно на 2Т, 3Т,. . ., тпТ, . . .; функция 5, определенная выше, зависит от Т; пусть
Будем искать максимумы и минимумы функции 5т, считая период Т постоянным.
Если мы рассмотрим периодическое решение с периодом Т, то оно будет также периодическим решением с периодом тпТ. Следовательно, первые производные 5Я1 равны нулю.
Для существования максимума или минимума необходимо, прежде всего, чтобы все показатели <*к были чисто мнимыми.
Если, далее, все количества
7^П7=Г (1)
отрицательны, то будет максимум; если они все положительны, то мы будем иметь минимум.
Вот нервый пункт, на который я хотел бы обратить внимание.
202
Новые методы небесной механики. III
Если мы дадим целому т всевозможные целые значения, то п—1 количеств (1), вообще говоря, дадут всевозможные комбинации знаков. Действительно, положим для краткости
и пусть
гк = тшк -)- 2ткп.
Дадим т и тк всевозможные целые значения; если мы рассматриваем
2г, . . ., яя_д как координаты точки в пространстве п—1 измерений, то получим таким образом бесконечное число точек. Я говорю, что в любой сколь угодно малой части пространства п—1 измерений будет бесконечно много этих точек.
Для того чтобы это показать, я должен только обратиться к рассуждениям, с помощью которых устанавливается, что однозначная функция от п вещественных переменных не может иметь и+1 различных периодов.
Величины, записанные в таблице
ш1> “'г' ? ? ?> и,л-1>
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 111 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed