Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Пуанкаре А. -> "Избранные труды" -> 57

Избранные труды - Пуанкаре А.

Пуанкаре А. Избранные труды — Москва , 1972. — 359 c.
Скачать (прямая ссылка): izbrannyetrudi1972.djvu
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 111 >> Следующая

и, наконец, 2п-е частное решение будет
= + ^ й = *^г+Ф'<-
Следовательно, общее решение можно записать в виде
*;=2 (о+2 в^к1к. <м+с^+б^+^),
у\ = 2 м + 2 в^к‘^ (о + с ^ + /) («^ + ф;) .
где А, В, С, Б — постоянные интегрирования.
Мы будем иметь также
*;=2 ^*еч<0*. * ю+2 ?ю+с' %++ф*)
с аналогичной формулой для у"..
Величины А', В', С', О' — новые постоянные.
Подставим эти значения в выражение (1); это выражение станет билинейной формой относительно двух рядов постоянных
А, В, С, Б,
А', В', СБ'.
Так как эта форма должна обращаться тождественно в нуль при Ак = А[, Вк = В’к, С = С', Б = Б\
то она будет линейной формой относительно определителей, содержащихся в матрице
II^1 ^2^2 ... Ап_л йл_] С Б
\А[ В\ А' я; ... ли В^ С' Б'
Коэффициенты этой линейной формы должны быть постоянными,
поскольку выражение (1) должно приводиться к постоянной.
Вообще говоря, ни один из характеристических показателей не будет нулем и никакие два из этих показателей не будут равны между собой.
13*
Периодические решения второго рода
197
откуда
2 (ВД - У'Х) = 2 мк (ег^т _ ^ ^ _ л™ (3)
324. Для рассмотрения уравнения (3) необходимо различать несколько случаев:
1. Показатели вещественны; тогда функции
0;.,. 0;,. 0;..-
также вещественны.
2. Показатели + аЛ чисто мнимые, и квадрат л\ — вещественное отрицательное число.
Тогда функции 0ЛЛ и 0">и и 0^ ,—комплексные сопряженные числа.
3. Показатели +ак комплексные. Тогда среди характеристических показателей будем иметь показатели +a?j, которые будут комплексными сопряженными с показателями а
будут комплексными сопряженными с
0*,<* 0*, <> 0*,<> 0*,<’
Предположим теперь, что величины ж' и у\ вещественны. Для вычисления постоянных А, В, С, О будем иметь 2п уравнений, которые получатся, если в уравнении, дающем ж', положить, например,
* = 0, г = Т, 1 = 2Т г = (2п — 1) Т.
Эти 2п уравнений линейны относительно 2п неизвестных А, В, С, В. Правые части вещественны, а коэффициенты—вещественные или комплексные попарно сопряженные.
Если заменить у/—1 на —у/—1, то
1) Аь и Вк не меняются, если ак — вещественное число;
2) Ак и Вк взаимно меняются местами, если ак — чисто мнимое
число;
3) Ак и Вк переходят в Ау и Весли чк — комплексное число, сопряженное С Лу
Итак:
1) Ак и Вк вещественны, когда а.к вещественно;
2) Ак и Вк комплексные сопряженные, когда ак — чисто мнимое число;
3) Ак и А у Вк и Bj — комплексные сопряженные, когда ак — комплексное число, сопряженное с a.J.
Наконец, С и О вещественны.
Эти условия, кроме того, достаточны, чтобы ж', и г/', были вещественны.
198
Новые методы небесной механики. III
Дадим постоянным Ак, Вк, С, Б так же, как и постоянным А'к, В'к, С', Б', значения, удовлетворяющие этим условиям. Тогда правая часть (2) должна быть вещественной; а для того чтобы это было так, необходимо:
1) чтобы Мк было вещественным, если и,. — вещественное число;
2) чтобы Мк было чисто мнимым, если ак — чисто мнимое число;
3) чтобы Мк и Му были комплексными сопряженными, если ак и а у комплексные и сопряженные.
Форма (3) содержит член
Мк(е-«*т~ект)АкВк
и не содержит других членов, зависящих от Ак или Вк.
Если показатель ак — вещественное число, то присутствия члена с АкВк достаточно, чтобы квадратичная форма (3) не могла быть определенной.
Таким образом, если хотя бы один-единственный показатель ак веществен, то функция 5 не может иметь ни максимума, ни минимума.
Предположим теперь, что два показателя як и Яу комплексные и сопряженные.
Обратим в нуль все постоянные, за исключением
Вк, Ау, Ву,
тогда форма (3) примет вид
Мк (<Г*Т - е^)АкВк + Му (е^т - еР) АуВу.
Эти два члена — комплексные сопряженные, так что форма (3) вещественна.
Предположим, что Ак не изменяется, а Вк меняет знак; А у, комплексно сопряженное с Ак, также не изменится, а Ву, комплексно сопряженное с Вк, изменится на —В..
Следовательно, форма (3) изменит знак; таким образом, она не может быть определенной.
Итак, если один из показателей як — комплексный, функция ? не может иметь ни максимума, ни минимума.
Предположим теперь, что як — чисто мнимое число. Тогда Ак и Вк комплексно сопряжены, а произведение АкВк равно сумме двух квадратов.
Для того чтобы функция 5 имела максимум, необходимо и достаточно, чтобы все количества
Мк _• акТ
эш —р==, —ТУТ
-. ош / ? )
^—1 1
были отрицательны; для того чтобы 5 имела минимум, необходимо и достаточно, чтобы все эти количества были положительны.
Важно заметить, что все эти количества вещественны, так как
Л/ь а
* гг_____
V' — 1
вещественны.
Периодические решения второго рода
199
325. Как изменятся эти результаты, если предположить, что постоянная живых сил рассматривается как один из фиксированных параметров задачи? Тогда мы имеем тождественно
где предполагается, что в (1Р/<1х, (1Р/<1у величины х( и у. заменены периодическими функциями (() и <р'. (?).
Действительно, постоянное значение функции Р должно быть одним и тем же для периодического решения
Это соотношение является линейным уравнением, связывающим постоянные
коэффициенты которого должны быть независимыми от /.
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 111 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed