Как решать задачу - Пойа Д.
Скачать (прямая ссылка):
Эвристическое рассуждение не рассматривается как окончательное и строгое, но лишь как предварительное и правдоподобное рассуждение, цель которого найти решение для данной проблемы. Нам часто приходится прибегать к эвристическим рассуждениям. Мы достигнем полной уверенности в правильности своего решения, когда получим окончательное решение, но до этого мы часто должны довольствоваться более или менее правдоподоб-
200
ной догадкой. Возможно, нам пригодится предварительное рассуждение, прежде чем мы получим окончательное. При построении строгого доказательства нам необходимы эвристические рассуждения, так же как нужны леса при возведении здания.
Эвристическое рассуждение часто основывается на индукции или на аналогии (см. «Индукция и математическая индукция» и «Ан а л о г и я», пп. 8, 9, 10 х).
Эвристические рассуждения сами по себе ценны. Вредно смешивать эвристическое рассуждение со строгим доказательством. И еще вреднее выдавать эвристическое рассуждение за строгое доказательство.
Обучение некоторым предметам, в особенности обучение инженеров и физиков дифференциальному и интегральному исчислению, можно было бы значительно улучшить, если бы природа эвристических рассуждений была лучше понята, их преимущества и ограничения открыто признаны и учебники открыто излагали бы эвристические доводы. Эвристический довод, сформулированный умело и прямо, может быть полезен, он может подготовить точное доказательство, отдельные элементы которого он содержит в себе. Но эвристический довод, вероятно, принесет вред, если он преподносится нечетко, с явными колебаниями между некоторой робостью и излишней самоуверенностью. (См. «Зачем нужны доказательств а?»)
1 Смотрите также статью автора в журналееАтегісап Mathematical Monthly*, т. 48, стр. 450—465. (Примечание автора.)
Как решать задачу
ПОНИМАНИЕ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ
I Что неизвестно? Что дано? В чем
Нужно ясно состоит условие?
понять за- Возможно ли удовлетворить условию? дачу. Достаточно ли условие для определения неизвестного? Или недостаточно? Или чрезмерно? Или противоречиво?
Сделайте чертеж. Введите подходящие обозначения.
Разделите условие на части. Постарайтесь записать их.
СОСТАВЛЕНИЕ ПЛАНА РЕШЕНИЯ
II
Нужно найти связь между данными и неизвестным. Если не удается сразу обнаружить эту связь, возможно, полезно будет рассмотреть вспомогательные задачи. В конечном счете необходимо прийти к плану решения.
Не встречалась ли вам раньше эта задача? Хотя бы в несколько другой форме?
Известна ли вам какая-нибудь род* ственная задача? Не знаете ли теоремы, которая могла бы оказаться полезной?
Рассмотрите неизвестное! И постарайтесь вспомнить знакомую задачу с тем же или подобным неизвестным.
Вот задача, родственная с данной и уже решенная. Нельзя ли воспользоваться ею? Нельзя ли применить ее результат? Нельзя ли использовать метод ее решения? Не следует ли ввести какой-нибудь вспомогательный элемент, чтобы стало возможно воспользоваться прежней задачей?
Нельзя ли иначе сформулировать задачу? Еще иначе? Вернитесь к определениям.
Если не удается решить данную задачу, попытайтесь сначала решить сходную. Нельзя ли придумать более доступную сходную задачу? Более общую? Более
202
частную? Аналогичную задачу? Нельзя ли решить часть задачи? Сохраните только часть условия, отбросив остальную часть: насколько определенным окажется тогда неизвестное; как оно сможет меняться? Нельзя ли извлечь что-либо полезное из данных? Нельзя ли придумать другие данные, из которых можно было бы определить неизвестное? Нельзя ли изменить неизвестное, или данные, или, если необходимо, и то и другое так, чтобы новое неизвестное и новые данные оказались ближе друг к другу?
Все ли данные вами использованы? Все ли условие? Приняты ли вами во внимание все существенные понятия, содержащиеся в задаче?
ОСУЩЕСТВЛЕНИЕ ПЛАНА
III Осуществляя план решения, контро-Нужно осу- мруйте каждый свой шаг. Ясно ли вам, ществить что предпринятый вами шаг правилен? Су-план реше- меете ли доказать, что он правилен? ния.
ВЗГЛЯД НАЗАД (изучение полученного решения)
IV Нельзя ли проверить результат?
Нужно изу- Нельзя ли проверить ход решения? чить найден- Нельзя ли получить тот же результат ное решение, иначе? Нельзя ли усмотреть его с одного взгляда?
Нельзя ли в какой-нибудь другой задаче использовать полученный результат или метод решения?
КАК ИСКАТЬ РЕШЕНИЕ? 1
(Сокращенный вариант таблицы)
Приложение
1. Понять предложенную задачу.
2. Найти путь от неизвестного к данным, если нужно, рассмотрев промежуточные задачи („анализ").
3. Реализовать найденную идею решения („синтез").
4. Решение проверить и оценить критически.
2.
Сформулировать отношение (или отношения) между неизвестным и данными.
Преобразовать неизвестные элементы. Попытаться ввести новые неизвестные, более близкие к данным задачи.
Преобразовать данные элементы. Попытаться получить, таким образом, новые элементы, более близкие к искомым неизвестным.
