Как решать задачу - Пойа Д.
Скачать (прямая ссылка):
Ш7
оригинальности. Предлагая ученику типовую задачу, учитель дает непосредственный и убедительный ответ на вопрос: известна ли вам какая-нибудь родственная задача? От учащегося, таким образом, требуется лишь некоторое внимание и терпение для выполнения готового решения. В этом случае он лишен возможности решать задачу по своему усмотрению и проявить какую-либо свою инициативу.
В процессе обучения математике решение типовых задач, даже в большом количестве возможно и нужно, но ограничить опыт учащихся решением только таких задач непростительно. Если обучать лишь механическому выполнению шаблонных математических операций, то это значит опуститься ниже уровня поваренной книги, ибо кулинарные рецепты все же оставляют повару возможность проявить свой вкус и воображение, чего не допускают математические рецепты.
Традиционный тип профессора математики из популярных анекдотов — всегда рассеян. Он считает, что потерял зонтик, а у него по зонтику в каждой руке. Он предпочитает стоять лицом к доске, а спиной к классу. Он пишет а, говорит by имеет в виду Cy а должно быть d. Некоторые его изречения передаются из поколения в поколение:
«Чтобы решить это дифференциальное уравнение, смотри на него, пока решение не придет в головр.
«Этот принцип настолько всеобъемлющ, что никакое частное его применение невозможно».
«Геометрия есть искусство правильно рассуждать на неправильных чертежах».
«Мой метод преодоления трудности состоит в том, чтобы обойти ее».
«В чем разница между методом и искусственным приемом? Метод есть искусственный прием, которым вы пользуетесь дважды».
У этого традиционного профессора математики в конце концов можно кое-чему поучиться. Будем надеяться, что тот учитель, у которого ничему не научишься, не станет традиционным.
Условие — один из главных элементов «задачи на нахождение». Смотрите «Задачи на нахождение, задачи на доказательство», пункт 3. Смот-
1ЭД
рите также «Термины, старые и новые», пункт 2.
Условие называется чрезмерным, если оно содержит лишние части, которые являются следствием остальных. Условие называется противоречивым, если его части несовместны, так что не существует никакого объекта, удовлетворяющего этим взаимно исключающим друг друга частям условия.
Так, например, если условие выражается линейными уравнениями, число которых превосходит число неизвестных, то оно либо чрезмерно, либо противоречиво. Если число уравнений меньше числа неизвестных, то условие недостаточно для определения неизвестных. Если число уравнений равно числу неизвестных, то условие обычно оказывается достаточным для определения неизвестных; однако в исключительных случаях оно может оказаться противоречивым или недостаточным.
Что неизвестно? Что требуется? Что вы хотите найти? Что вы должны искать? Что дано? Что известно?
В чем состоит условие? Какое условие связывает неизвестное с данными?
Эти вопросы могут быть поставлены учителем, чтобы проверить понимание задачи: учащийся должен уметь четко ответить на них. Более того, они привлекают внимание учащегося к главным элементам «задачи на нахождение» — к неизвестному, данным, условию. Поскольку может возникнуть необходимость вновь и вновь возвращаться к рассмотрению этих элементов, эти вопросы могут не раз повторяться на более поздних этапах решения (примеры в пп. 8, 10, 18, 20; «Составление у р а в н е н и й», пп. 3, 4; «Практические з а д а ч и», п. 1; «Г о-ловоломки» и в других местах).
Эти вопросы имеют огромное значение для того, кто решает задачу. Они проверяют понимание задачи учащимися, сосредоточивают их внимание на той или другой главной части задачи. Решение существеннейшим образом зависит от установления связи между неизвестным и данными. Поэтому ученик, решающий задачу, должен вновь » вновь обращать внимание на эти элементы, спрашивая себя: Что неизвестно? Что дано?
№
Каждое неизвестное задачи или различные части условия должны быть рассмотрены каждое в отдельности. Поэтому мы пользуемся такими видоизмененными вариантами наших вопросов, как: Какие есть в задаче неизвестные? Что является первым известным в задаче? Что является вторым известным? Из каких различных частей состоит условие? Что является первым пунктом (clause) условия?
Предпосылка и заключение являются главными элементами «задачи на доказательство». Отсюда вытекают соответствующие вопросы: В чем состоит предпосылка? Каково заключение?
Весьма возможно, что порой нам придется несколько изменить формулировку или несколько видоизменить эти часто полезные вопросы и поставить их следующим образом: что допускается? Из каких разных частей состоит допущение? (пример в п. 19.)
Эвристика или «ars inveniendi»—так называлась не совсем четко очерченная область исследования, относимая то к логике, то к философии, то к психологии. Она часто охарак-теризовывалась в общих чертах, редко излагалась детально и по существу предана забвению в настоящее время. Цель эвристики — исследовать методы и правила, как делать открытия и изобретения. Отдельные высказывания о таком исследовании можно обнаружить у комментаторов Евклида; в этом отношении особенно интересно одно место у Пап-п а. Наиболее известные попытки создать стройную систему эвристики принадлежат Декарту и Лейбницу, двум великим математикам и философам. Бернард Больцано оставил интересное и подробное изложение эвристики. Данная книга представляет собой попытку воскресить эвристику в современной и скромной форме. (См. «С о в р е-менная эвристик а».) Прилагательное эвристический, значит «служащий для открытия».
