Как решать задачу - Пойа Д.
Скачать (прямая ссылка):
Небольшой список, приведенный ниже, включает в себя несколько новых терминов, использованных нами, и ряд старых, которых мы избегаем в данной работе. Также перечислены кое-какие старые термины, которые нами сохранены, несмотря на отсутствие четкости в них.
Обсуждение терминологии, приведенное ниже, может сбить читателя с толку, если его представления не будут закреплены примерами. Этой ошибки мы постараемся избежать.
1. Анализ — полезный термин, который точно определен П а п п о м. Он имеет в виду типичный прием составления плана решения задачи, заключающийся в том, что решение начинается с предположения, что неизвестное найдено (или заключение установлено), и идет в обратном порядке к данным задачи (или предпосылке). К сожалению, это слово приобрело совершенно различные значения (как, например, математический, химический, логический анализы) и поэтому в данном исследовании приходится избегать его.
2. Условие связьюает неизвестное «задачи на нахождение» с данными (см. «Задачи на нахождение, задачи на доказательство», п. 3). В этом значении это четкий, полезный термин, без которого нельзя обойтись. Часто бывает необходимо расчленнзъ условие
195
на несколько составных частей (на части (I) и (II) в примерах «Разложение и составление новых комбинаций», UUi 7, 8). А ведь каждую часть всего условия обычно также называют условием. Можно легко преодолеть эту нечеткость, которая часто затрудняет нашу работу, если ввести какой-нибудь технический термин для обозначения части всего условия. Такую часть можно было бы назвать, например, «пунктом» (clause).
3. Предпосылка (hypothesis) — так называется существенная часть математической теоремы обычного типа (см. «3 а-дачи на нахождение, задачи на доказательство», п. 4). В таком значении этот термин совершенно ясен и удовлетворителен. Затруднение заключается в том, что каждая часть всей предпосылки тоже называется предпосылкой. Таким образом, одна предпосылка может состоять из ряда предпосылок. Чтобы избежать этой путаницы, можно было бы назвать каждую часть всей предпосылки «пунктом» (clause) или как-нибудь в этом роде. (Сравните с тем, что сказано выше относительно «условия».)
4. Главные элементы задачи определены в статье «Словаря» «Задачи на нахождение, задачи на доказательство» пп. 3, 4.
5. Задачи на нахождение, задачи на доказательство — два новых термина, которые пришлось ввести, чтобы заменить исторически сложившиеся термины, значения которых вследствие своего широкого распространения, к сожалению, в настоящее время настолько запутаны, что вернуться к старым значениям этих терминов невозможно. В переводах на латинский язык математических работ греков имеется общее название для обоих типов задач «propositio». «Задача на нахождение» называется «problema» (проблема), а «задача на доказательство» — «theorema» (теорема). На устарелом математическом языке слова proposition, problem и theorem еще сохраняют это «евклидово» значение. Но в современном математическом языке эти понятия имеют совсем другое значение, что и оправдывает введение новых терминов.
6. Прогрессивное рассуждение — термин, который употреблялся разными авторами в различных значениях. Некоторые из них употребляли это слово в его первоначальном значении «синтез» (см. п. 9). Использование этого термина в последнем значении оправдано, но в данной работе мы избегаем его.
196
7. Регрессивное рассуждение — термин, который употреблялся некоторыми авторами в старом значении «анализ» (ср. пп. 1, 6). Употребление термина в таком смысле можно оправдать, но нами он избегается.
8. Решение — совершенно ясный термин, если брать его в чисто математическом смысле. Оно обозначает любой объект, удовлетворяющий условию «задачи на нахождение». Так, решением уравнения х2—Зх+2—0 являются его корни, числа 1 и 2. К сожалению, это слово имеет другие значения, не чисто математические и они употребляются математиками наряду с его математическим значением. Решение может также иметь значение «процесс решения задачи» или «работа, проведенная при решении задачи». Мы пользуемся этим словом в таком значении, когда говорим о «трудном решении». Решение может также иметь в виду результат работы, проделанной при решении задачи. Говоря о «прекрасном решении», мы употребляем слово решение именно в этом смысле. Может так случиться, что в одном предложении приходится говорить о значении, удовлетворяющем условию задачи, о работе, проделанной при получении его, и о результате этой работы. Если поддаться соблазну и назвать все три понятия «решением», то вряд ли предложение будет понятным.
9. Синтез употреблялся П а п п ом в совершенно определенном значении, которое следовало бы сохранить. Однако, к сожалению, нам приходится избегать этого термина в нашей книге по тем же соображениям, по каким мы избегаем термина «анализ» (см. п. 1).
Типовой задачей можно назвать задачу на решение квадратного уравнения л;2—Зл;+2=0, если учащемуся было ранее объяснено и показано решение квадратного уравнения в общем виде. Вся работа учащегося сводится к тому, чтобы подставить числа — 3 и 2 вместо соответствующих букв в общую формулу корней квадратного уравнения. Такую задачу следует назвать типовой, даже если ранее решение квадратного уравнения не было дано в общем виде (с буквенными коэффициентами), но до этого был решен десяток подобных квадратных уравнений с числовыми коэффициентами. Вообще задача будет «типовой», если ее можно решить или путем подстановки частных данных в ранее решенную задачу общего вида, или по образцу часто встречающегося примера, повторяя шаг за шагом решение, лишенное всякой
