Как решать задачу - Пойа Д.
Скачать (прямая ссылка):
4. Этот предельный случай может показаться слишком упрощенным и потому якобы не имеющим отношения к нашей задаче. Но если эта идея возникает одновременно
1O2
с предчувствием, что за ней скрываются еще другие возможности, и чутье подсказывает, что рассматриваемый предельный частный случай может все-таки сыграть известную роль в решении задачи, то в самом деле можно сказать, что наша идея счастливая.
Вот задача, родственная данной: это частная задача, только что решенная вами. Нельзя ли воспользоваться ею? Нельзя ли применить ее результат? Нельзя ли ввести какой-нибудь вспомогательный элемент, чтобы можно было воспользоваться этой задачей? Следует ею воспользоваться, но каким образом? Как можно использовать полученное решение, при котором точка В находится в состоянии покоя, для случая, при котором точка В движется? Покой есть частный случай движения. Но ведь движение относительно и поэтому, независимо от величины скорости точки В, которая дана, можно считать, что точка В находится в состоянии покоя. Эту идею можно выразить более ясно: если:сообщить системе, состоящей из двух кораблей, одинаковое равномерное движение, при котором положение кораблей относительно друг друга останется без изменения, то и относительные расстояния остаются без изменения, так же как и кратчайшее относительное расстояние между двумя кораблями изменяться не будет, т. е. не изменится то расстояние, которое требуется найти согласно условию задачи. Итак, можно сообщить такое движение, которое сведет скорость одного из кораблей к нулю, и, таким образом, общий случай решения задачи сводится к только что рассмотренному частному случаю. Допустим тогда, что мы сообщили скорость, противоположную BQ по направлению, но равную ей по величине. Это будет тот вспомогательный элемент, который даст возможность воспользоваться частным решением частного случая.
На фигуре 27 показано, как построить кратчайшее расстояние между кораблями.
5. Схема логических рассуждений приведенного выше решения (пп. 3, 4) такова, что стоит ее проанализировать и запомнить.
№
Чтобы решить исходную задачу (п. 3, первые строки)» мы сначала решили другую задачу, которую можно с полным основанием назвать вспомогательной' задачей (п. 3, последние строки). Эта вспомогательная задача является частным случаем первоначальной задачи (предельный частный случай, при котором один из двух кораблей находится в состоянии покоя). Первоначальная задача была предложена, вспомогательная задача придумана в ходе решения. Первоначальная задача казалась трудной, вспомогательная задача решалась легко. Вспомогательная задача, как частный случай, была по существу намного скромнее первоначальной задачи.
Если так, то каким образом на основании этой вспомогательной задачи нам удалось,решить первоначальную задачу? Дело в том, что при сведении исходной задачи к вспомогательной мы сделали существенное дополнительное замечание (об относительности движения).
Таким образом, нам удалось решить исходную задачу благодаря следующим двум обстоятельствам: во-первых, мы нашли полезную вспомогательную задачу; во-вторых, мы сделали удачное дополнительное замечание, которое позволило нам перейти от вспомогательной задачи к основной. Мы решили предложенную задачу в два приема, подобно тому как можно перейти ручей двумя шагами при условии, что посредине этого ручья лежит камень, служащий временной опорой.
Суммируя вышеизложенное, можно сказать, что мы использовали менее трудную и более простую, частную вспомогательную задачу в качестве опорного камня для решения более трудной, сложной, общей, основной задачи.
6. Специализация находит себе много других применений, которые не могут быть рассмотрены здесь. Отметим лишь, что она может быть полезной при проверке решения («Н е л ь-зя ли проверить результа т?», п. 2).
Специализация несколько примитивного вида нередко оказывает учителю хорошую услугу. Заключается она в том, чтобы придать абстрактным математическим элементам задачи более конкретную форму. Так, например, если в задаче говорится о прямоугольном параллелепипеде, учитель может привести в пример классную комнату, в которой проводится занятие (п. 8), При изучении аналитической геометрии а пространстве угол классной комнаты может служить началом координат, пол и две стены — координат-
ными плоскостями, линии пересечения этих плоскостей будут тремя осями координат. Объясняя понятие о поверхности вращения, учитель мелом проводит кривую на двери и медленно открывает ее. Все эти приемы, конечно, очень просты, но не следует упускать ни одной возможности сделать математические понятия более близкими учащимся. Математика, будучи очень абстрактной наукой, должна препод* носиться очень конкретно.
Термины, старые и новые, характеризующие деятельность человека при решении задач, часто лишены определенности. Сама эта деятельность знакома всем и часто обсуждается. Но ее, как и всякий другой умственный процесс, трудно описать. Ввиду отсутствия систематического исследования этой деятельности нет и специальной терминологии для ее описания, а те обычные полуспециальные термины, которые используются, часто лишь увеличивают путаницу, так как они разными авторами употребляются в различных значениях.
