Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Пойа Д. -> "Как решать задачу" -> 73

Как решать задачу - Пойа Д.

Пойа Д. Как решать задачу: Пособие для учителей. Под редакцией Гайдука Ю.М. — М.: Государственное учебно-педадогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1959. — 207 c.
Скачать (прямая ссылка): krzdpoya1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 .. 79 >> Следующая


г = 0 и R = ~H.

Таким образом, и этот пример подтверждает правильность утверждения. Однако во втором предельном случае (угол при вершине равен 180°) все три высоты исчезают 1 и

r = 0, R-OO и H=O.

Правильность нашего утверждения не подтверждается, и это доказывает, что предложенная Теорема не верна. Тем самым мы решили поставленную задачу.

Можно видеть, что утверждение также ошибочно и для очень «пологих» равнобедренных треугольников, у которых угол при вершине приближается к величине 180°, так что в своем доказательстве мы могли бы даже «официально» пренебречь рассмотрением крайнего случая, который производит впечатление не совсем «правомерного».

2. «L'exception confirme Ia regle». «Исключение подтверждает правило». Эту известную поговорку следует рассматривать как шутку, посмеиваясь над отсутствием логики у ее автора. При серьезном подходе достаточно, конечно, одного исключения, чтобы окончательно опровергнуть любое «мнимое правило» или общее утверждение. Самый простой и в некотором отношении даже самый лучший способ опровержения таких мнимых общих утверждений и правил заключается как раз в том, чтобы выявить такой частный случай, который противоречил бы этим утверждениям или правилам. У некоторых авторов такой частный случай называется «контрпримером».

Вот правило, претендующее на общность и связанное с рядом элементов. Чтобы опровергнуть его, мы специализируем, т. е. выбираем из данного ряда такой элемент, который не соответствует этому общему правилу; как это делается, иллюстрирует пример, приведенный выше (п. 1). Сначала мы рассматриваем простой частный случай, берем наудачу

1 Здесь подразумевается, что этот предельный случай рассматривается яри деформации равнобедренного треугольника с постоянным основанием. (Примечание к русскому переводу. — Ред.\

190

любой случай, который легко поддается проверке. Если проверка выявит, что взятый случай не соответствует общему правилу, то последнее опровергается и решение завершено. Если, однако, рассмотренный случай подтверждает предполагаемое правило, то, возможно, его исследование нам кое-что подскажет. У нас создается впечатление, что, возможно, предполагаемое правило все же соответствует действительности. Рассмотренный случай может подсказать, в каком направлении следует искать доказательство. Или же, как в нашем примере в пункте 1, исследование частного случая подскажет, в каком направлении следует искать контрпример, т. е. какие другие частные случаи необходимо исследовать. Можно видоизменять исследуемый случай, варьировать его, исследовать какой-нибудь более общий частный случай, находить предельные случаи, как это нами было сделано в примере в пункте 1.

Предельные случаи особенно поучительны. Если выведен закон, относящийся ко всем млекопитающим, то он должен быть верен и по отношению даже к такому млекопитающему, как кит. Не будем забывать этот предельный случай с китом. Рассматривая его, нам даже возможно удастся опровергнуть обобщающий характер этого закона. Это очень вероятно, поскольку авторы обобщений обычно склонны упускать из виду такие предельные случаи. Если мы, однако, обнаружим, что обобщающее правило подтверждается даже и этими крайними случаями, индуктивное доказательство, полученное из этого подтверждения, будет очень убедительным, поскольку надежды на опровержение как раз возлагались на предельные случаи. Таким образом, появляется желание переделать поговорку, с которой мы начали наши рассуждения, так: «Ожидаемые исключения провер яют п р ави л о».

3. Пример. Даны скорости двух кораблей и их местонахождение в определенный момент, причем каждый корабль движется по прямолинейному курсу с постоянной скоростью. Найти расстояние между ними в момент, когда оно будет наименьшим.

Что неизвестно? Кратчайшее расстояние между двумя движущимися телами. Тела должны рассматриваться как материальные точки.

Что дано? Исходное положение этих двух материальных точек и скорость каждой. Направление и величина каждой скорости постоянны.

В чем состоит условие? Надо определить расстояние, когда оно будет наименьшим, т. е. в тот момент, когда эти две движущиеся точки (корабли) ближе всего друг к

другу.

Сделайте чертеж. Введите подходящее обозначение. На фигуре 26 точки AnB обозначают исходное местонахождение двух кораблей. Оно нам известно. Направленные отрезки (векторы) AP и BQ выражают данные скорости. Таким образом, первый корабль движется по прямой через точки А и P и проходит расстояние AP в единицу времени. В Аналогично этому второй корабль движется

S по прямой BQ.

Q * Что неизвестно? Неизвестно кратчай-

шее расстояние между двумя кораблями, движущимися один по прямой AP и другой— по прямой BQ.

Теперь ясно, что требуется определить. Однако, если мы захотим ограничиться лишь элементарными средствами, нам все р__#А же будет не ясно, как определить это расстояние. Задача не из легких, и ее трудность Фиг. 26. заключается в своеобразном нюансе, который мы попытаемся выразить так: «имеется слишком большое разнообразие элементов». Исходные положения точек А и В и векторы скоростей AP и BQ могут быть даны по-разному. В самом деле, эти четыре точки Л, В, Р, Q могут быть выбраны произвольно. Но независимо от данных может быть только одно общее решение, а нам пока не ясно, как одно и то же решение может удовлетворить всем этим возможным случаям. Из этого ощущения «слишком большого разнообразия» в конце концов может возникнуть вопрос и последовать на него ответ: нельзя ли приду-мать более доступную сходную задачу? Более частную? Конечно, есть такой предельный частный случай, при котором одна скорость имеет значение, равное 0. Ведь корабль в точке В может быть на якоре, и тогда точка Q совпадет с точкой ?. Кратчайшее расстояние от корабля, находящегося в покое, до движущегося корабля будет перпендикуляром к прямой линии, по которой этот корабль движется.
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 .. 79 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed