Как решать задачу - Пойа Д.
Скачать (прямая ссылка):
3. Найти сторону основания и высоту прямой призмы, в основании которой лежит квадрат, если ее объем 63 см2, а площадь поверхности 102 см2.
Что неизвестно? Сторона основания. Обозначим ее через х, а высоту призмы через у.
Что дано? Объем 63 см 3 и площадь 102 см2.
В чем состоит условие? Призма, в основании которой квадрат со стороной х и высотой у, должна иметь объем 63 смъ и площадь 102 см2.
Разделите условие на части. Имеются две части — одна связанная с объемом, другая — с площадью.
Мы легко разделим все условие на эти две части. Но их нельзя записать «непосредственно». Мы должны уметь вычислять объем и различные части площади. Если это нам из курса геометрии известно, то нетрудно будет изменить словесную формулировку обеих частей условия так, что их возможно будет перевести на язык уравнений. На левой стороне листа мы записываем словесную формулировку задачи, существенно переработанную, расширенную и готовую для перевода на язык алгебры.
Формулировка задачи.
на русском языке
на языке алгебры
Найти каждое из двух чисел, сумма которых равна 78, а произведение 1296.
х, у X +у = 78 ху = 1296.
187
Найти сторону основания и
высоту прямой призмы,
в основании которой квадрат. Первое. Объем призмы дан.
Площадь основания, которая представляет собой квадрат со стороной х,
и высота
определяют объем, который есть их произведение.
Второе. Площадь поверхности дана.
Поверхность состоит из двух квадратов со стороной X и
четырех прямоугольников, каждый с основанием х и высотой у;
сумма их площадей есть известная площадь поверхности.
X
У
63 см3
X2у = 63 102 см2
2х2 \ху
2я2 +4^ = 102.
4. Найти точку, симметричную данной точке относительно заданной прямой, если даны уравнение прямой и координаты данной точки.
Эта задача из аналитической геометрии на плоскости.
Что неизвестно? Точка с ее координатами, обозначим их р и q.
Что дано? Уравнение прямой у=тх-\-п и точка с координатами а, Ь.
В чем состоит условие? Точки (а, Ь) и (р, q) симметрично расположены относительно прямой у=тх+п.
Теперь мы подошли к самой главной трудности, состоящей в том, что необходимо разбить условие на части, каждая из которых может быть выражена языком аналитической геометрии. Нужно хорошо понять характер этой трудности. Можно разбить условие на такие части, которые не встретят возражений с точки зрения их логичности. Но тем не менее такое разделение условия бесполезно, ибо в данном случае требуется расчленение условия на такие части, которые могли бы быть выражены аналитически. Чтобы найти правильное решение, приходится возвращаться к определению симметрии, но при этом не забывать о средствах выражения аналитической геометрии. Что значит симметрично относительно прямой? Какие геометрические отношения могут быть легко выражены в аналитической геометрии? Мы сосредоточиваем свое внимание на первом вопросе, но не следует забывать о втором. В конце концов мы можем найти расчленение, которое приводится ниже.
188
Данная точка
и точка, которую нам надо найти, так связаны между собой, что
1) прямая, соединяющая их, перпендикулярна данной прямой; и
2) они лежат по разные стороны от заданной прямой на равном расстоянии от нее1.
(а, Ь) (P. Ф
g—b
р — а т та — п д — тр —
Специализация заключается в том, что от изучения данного ряда элементов мы переходим к изучению меньшего ряда или же к изучению отдельного элемента данного ряда. При решении задач специализация часто полезна. В подтверждение этого ниже приводится следующий пример.
1. Пример. Пусть в треугольнике г — радиус вписанной окружности, R — радиус описанной окружности, а Я — наибольшая высота. Тогда
Эту теорему мы должны доказать (или опровергнуть). Таким образом, перед нами стоит «задача на доказательство».
Предлагаемая теорема необычного типа. Нам не удастся припомнить теорему о треугольниках с подобным заключением. Если мы не можем придумать какой-либо способ доказательства всей теоремы, то мы можем исследовать какой-нибудь частный случай этого недоказанного утверждения. Таким наиболее простым частным случаем будет применение теоремы к равностороннему треугольнику. Для этого случая
г=у и R=TH.
Таким образом, в этом случае утверждение верно. Не придумав ничего другого, мы начинаем исследовать более общий, чем рассмотренный сейчас частный случай, а именно: случай равнобедренного треугольника. Как известно, форма равнобедренного треугольника является функцией вели-
1 Это второе условие можно было бы, очевидно, заменить требованием, чтобы середина отрезка, соединяющего точки (а, Ь) и (р, д), т. е.
точка
("~~2~^' ~~2~~0~~~ лежала на заДанН0Й прямой. Указанное требование записалось бы уравнением ^Ц~^=т а^"^ -|- п, равносильным, конечно, приведенному в тексте. (Примечание к русскому переводу. — Ред.)
і89
чины его угла при вершине. Величина угла равнобедренного треугольника при вершине меняется в пределах от 0 до 180°. В первом предельном случае (угол при вершине равец 0°) основание равнобедренного треугольника исчезает и поэтому
