Как решать задачу - Пойа Д.
Скачать (прямая ссылка):
В нескольких статьях содержатся лишь ссылки на другие статьи (в содержании они отмечены особо).
164
6. Эвристика ставит себе целью установить общие закономерности тех процессов, которые имеют место при решении всякого рода проблем, независимо от их содержания. В этой книге, однако, мы рассматриваем примеры почти исключительно из элементарной математики.Следует признать, что это суживает рамки наших рассмотрений, но мы полагаем, что такое ограничение не явится серьезной помехой в исследовании основных идей эвристики. В самом деле, элементарные математические задачи обеспечивают желаемое разнообразие, а изучение процесса их решения доступно каждому и интересно. К тому же мы не забываем о нематематических проблемах, хотя они рассматриваются и реже.
Более серьезные математические задачи в данной книге нигде не приводятся, но по существу именно они составляют подлинный фон изложения. Знаток математики, интересующийся эвристическим исследованием, может без труда добавить примеры из собственного опыта, чтобы уяснить себе вопросы, иллюстрируемые нами лишь на элементарных примерах.
7. Автор желает выразить свою благодарность и чувство признательности некоторым современным авторам, не упомянутым в статье об эвристике — физику и философу Эрнсту Маху, математику Жаку А д а м а р у *, психологам Вильяму Джеймсу и Вольфгангу К ё л е р у. Автор также желает упомянуть психолога К. Денкера и математика Ф. Красса, чей, труд содержит некоторые общие с данной книгой положения (их книга была опубликована, когда данное исследование было в форме завершения и частично опубликовано).
Составление уравнений можно сравнить с переводом с одного языка на другой («О б о з н а ч е н и я», п. 1). Это сравнение, использованное Ньютоном в его Arithmetica Universalis, может помочь нам внести ясность в природу некоторых затруднений, с которыми часто встречаются и учащиеся, и преподаватели.
1. Составить уравнение — значит выразить математическими символами условие, сформулированное словами.
1 Автор, очевидно, имеет в виду книгу Адамара, посвященную психологическому аспекту математического творчества («Psychology of Invention in the Mathematical Field* by Jacques Hadamard, Princeton University Press, 1945). (Примечание к русскому переводу.—Ред.)
185
Это перевод с обычного языка на язык математических формул. Трудности, которые могут встретиться при составлении уравнений, являются трудностями перевода.
Чтобы перевести предложение с английского языка на французский, нужно удовлетворить двум условиям: во-первых, мы должны точно понять английское предложение; во-вторых, мы должны быть знакомы со средствами выражения, свойственными французскому языку. Аналогичное Положение создается, когда мы пытаемся выразить математическими символами условие, сформулированное словами: во-первых, мы должны понять условие; во-вторых, мы должны быть знакомы со средствами математического языка.
Сравнительно легко перевести английское предложение на французский язык, если его можно перевести дословно. Но в английском языке есть идиоматические выражения, которые не могут быть переведены на французский язык дословно. Если в нашем предложении встречаются такие идиоматические выражения, затрудняющие перевод, то приходится обращать меньше внимания на значение отдельных слов и больше внимания на смысл выражения в целом. До перевода предложение, возможно, придется перестроить.
Составление уравнений имеет много общего с таким переводом. В легких случаях словесная формулировка почти механически распадается на ряд последовательных частей, каждую из которых можно непосредственно выразить математическими символами. В более трудных случаях условие состоит из частей, которые не могут быть непосредственно переведены на язык математических символов. В этом случае мы должны меньше обращать внимания на словесную формулировку и сосредоточить свое внимание на смысле этой формулировки. Перед тем, как приступить к математической записи, возможно нам придется по-иному сформулировать условия, все время имея в виду математические средства для записи этой новой формулировки.
Во всех случаях, легких или трудных, мы должны понять условие, разделить условие на части и поставить вопрос: можете ли вы записать их? Если задача легкая, нам удается, не задумываясь, разбить условие на часта, которые могут бьгґь записаны математическими символами. В трудной же задаче надлежащее разделение условий не так легко наметить.
186
После изучения приведенных ниже примеров следует вернуться к вышеизложенному объяснению и еще раз прочитать его.
2. Найти каждое из двух чисел, сумма которых равна 78, а произведение 1296.
Вертикальной линией разделим лист на две части.На одной стороне запишем словесную формулировку, разбитую на надлежащие части. На другой стороне, против соответствующей словесной формулировки, запишем алгебраические обозначения. Оригинал находится слева, перевод на символы — справа.
В этом случае словесная формулировка почти механически распадается на ряд последовательных частей, каждую из которых можно непосредственно записать математическими символами.
