Как решать задачу - Пойа Д.
Скачать (прямая ссылка):
Трудность здесь в том, что обычно оказывается слишком много задач, связанных в той или иной степени с нашей задачей, т. е. имеющих с ней какие-либо общие черты.
Как выбрать задачу или несколько задач, которые действительно будут полезны? Вот совет, указывающий нам ту общую черту, которая является существенной: Рассмотрите неизвестное^. И постарайтесь вспомнить знакомую задачу с тем же или подобным неизвестным.
Нам повезло, если нам удалось вспомнить уже решенную задачу, тесно связанную с нашей нынешней задачей.
Теперь постараемся использовать случай и извлечь все, что можно, из нашей удачи. Вот задача, сходная с нашей и уже решенная. Нельзя ли воспользоваться ею?
Эти вопросы, если их хорошо уяснить и глубоко продумать, часто помогают правильно направить ход мыслей с самого начала; но они не в состоянии помочь всегда, они не обладают магической силой. Если они не помогают, мы должны начать поиски новых подходящих точек соприкосновения, исследовать всевозможные аспекты нашей задачи; мы
19
должны Видоизменить, преобразовать, модифицировать задачу. Нельзя ли сформулировать задачу иначе?
В нашей таблице имеются вопросы, подсказывающие нам такие специфические средства видоизменить задачу, как обобщение, специализация, использование аналогии, отбрасывание части условий и т. д.; все это очень важно, но мы не можем сейчас вдаваться в детали. Видоизменение задачи может привести к некоторой подходящей вспомогательной задаче: если не удается решить данную задачу, попытайтесь предварительно решить сходную.
Пытаясь использовать различные известные задачи и теоремы, рассматривая всевозможные видоизменения задачи, экспериментируя с разными вспомогательными задачами, мы можем оставить нашу первоначальную задачу так далеко в стороне, что возникнет опасность совсем распроститься с ней. Но следующий превосходный вопрос вернет нас снова к ней: Все ли данные вы использовали? Все ли условие?
10. Пример. Мы возвращаемся к примеру, рассматривавшемуся в пункте 8. К моменту, когда мы оставили его, учащимся только что удалось понять задачу, и они начали проявлять к ней кое-какой интерес. Вероятно, теперь у них имеются собственные идеи и пробудилась некоторая инициатива.
Если учитель при самом внимательном наблюдении не может обнаружить никаких следов такой инициативы, он должен возобновить свой диалог с учащимися, тщательно взвешивая каждое свое слово. Он должен быть готовым предлагать повторно в несколько измененном виде вопросы, на которые учащиеся не могут дать ответа. Он должен быть готовым часто встречаться с обескураживающим молчанием учащихся (которое далее будет обозначаться точками...).
«Известна ли вам какая-нибудь родственная задача?»
«Рассмотрите неизвестное\ Встречалась ли вам задача с тем же неизвестным?»
«Что неизвестно в этой задаче?» «Диагональ параллелепипеда».
«Встречалась ли вам какая-нибудь задача с тем же неизвестным?»
20
«Нет. Мы никогда не решали задач, в которых у нас была бы диагональ параллелепипеда».
«Встречалась ли вам какая-нибудь задача с подобным неизвестным?»
«Не правда ли, диагональ есть отрезок, отрезок прямой. Приходилось ли вам решать задачу, в которой неизвестным являлась длина отрезка?»
«Конечно, мы решали такие задачи. Например, найти сторону прямоугольного треугольника».
«Очень хорошо! Вот задача, сходная с вашей и yotce решенная.— Нельзя ли воспользоваться ею?»
«Вам удалось вспомнить задачу, которую вы решили прежде и которая сходна с вашей теперешней задачей.
Попробуйте извлечь из нее пользу! Нельзя ли ввести какой-нибудь вспомогательный элемент, чтобы стало возможно воспользоваться прежней задачей?»
«Вы вспомнили задачу о треугольнике. Посмотрите на чер- ь теж; есть у вас на чертеже ка- Фиг. 1. кой-нибудь треугольник?»
Будем надеяться, что последний намек оказался достаточно ясным, чтобы натолкнуть на идею решения, заключающуюся в том, чтобы ввести прямоугольный треугольник (заштрихованный на фиг. 1), для которого искомая диагональ служит гипотенузой.
Однако учитель должен быть готовым к тому, что даже этот совершенно ясный намек окажется не в состоянии сдвинуть учащихся с мертвой точки; у него должна быть наготове целая гамма все более и более ясных намеков.
«Было бы хорошо, если бы у нас на чертеже был треугольник?»
«Какой треугольник был бы лучше всего?»
«Вы пока не можете найти диагональ; но вы сказали, что смогли бы найти сторону треугольника. Что же вам нужно сделать?»
«Можно было бы найти диагональ, если бы она была стороной треугольника?»
21
Когда в конце концов учащимся удается с большей или меньшей помощью ввести решающий вспомогательный элемент (прямоугольный треугольник, заштрихованный на фиг. 1), учителю следует удостовериться в том, что учащиеся теперь достаточно ясно представляют себе, как действовать дальше.
Только после этого можно переходить к действительным вычислениям.
«Мне кажется, неплохо, что мы начертили этот треугольник. Теперь у вас есть треугольник, но что вы скажете о вашем неизвестном?»
