Как решать задачу - Пойа Д.
Скачать (прямая ссылка):
Это доказательство представляет собой определенный прием, при помощи которого можно вновь и вновь продлить ряд простых чисел до бесконечности. В нем нет ничего окольного, нет необходимости рассматривать невозможные положения. Однако по существу это доказательство такое же, как и приведенное нами косвенное доказательство, которому нам удалось только придать другой вид,
Сделайте чертеж1. Смотрите «Геометриче с к и е фигуры». Введите подходящие обозначения; смотрите «Обозначения».
Симметрия имеет два значения — более обычное, частное, геометрическое значение и менее обычное, общее, логическое значение.
В элементарной геометрии в пространстве рассматриваются два типа симметрии: симметрия относительно плоскости (плоскостная симметрия) и симметрия относительно точки (центральная симметрия). Тело человека кажется довольно симметричным, но на самом деле это не так. Многие внутренние органы расположены совсем не симметрично. Статуя может быть совершенно симметрична, относительно некоторой вертикальной плоскости, и в этом случае обе ее половины кажутся полностью «взаимозаменяемыми».
В более общем понимании целое считается симметричным, если у него имеются взаимозаменяемые части. Существует много видов симметрии. Они отличаются друг от друга числом взаимозаменяемых частей и теми действиями, при помощи которых эти части взаимозаменяются. Так, например, куб имеет высокую степень симметрии; его шесть граней взаимозаменяемы, как и его восемь, вершин и двенадцать ребер. Выражение
yz-\-zx-\- ху
симметрично, ибо любые две из трех букв х, у у z могут друг друга заменять, не изменяя при этом выражения.
Симметрия в более общем понимании важна и для изучаемого нами предмета. Если в задаче имеются симметричные элементы, то, учитывая это, порой бывает выгодно обратить внимание на эти взаимозаменяемые части и часто имеет смысл применять одинаковые подходы к тем элементам, которые выполняют одни и те же функции (см. «В С П О m о-г а т е л ь н ы е элементы», п. 3).
С симметричными элементами старайтесь обращаться симметрично и никогда не разрушайте беспричинно любую естественную симметрию. Иногда, однако, мы вынуждены обращаться неодинаково с симметричными предметами. Так, например, пара перчаток, безусловно, симметрична. Тем
1 Статья содержит исключительно ссылки на другие статьи «Словаря».
180
не менее никто не обращается с такой парой совсем одинаково, никто не надевает обе перчатки одновременно, а одну за другой.
Симметрия может также быть полезной при проверке результатов решений (см. п. 14).
Следствие (королларий) есть теорема, которую мы легко получаем, рассматривая другую, уже доказанную теорему. Английский термин «corollary» происходит от латинского слова; более или менее буквальный перевод означает «чаевые» \
Современная эвристика стремится постичь процесс решения проблем, особенно тех мыслительных операций, ко-торые чаще всего оказываются полезными в этом процессе. Свои данные она заимствует из различных источников, ни одним из которых не следует пренебрегать. При серьезном изучении эвристики следует учесть как логический, так и психологический ее фон, используя высказывания таких старых авторов, как Папп, Декарт, Лейбниц и Больцано, по данному вопросу, и менее всего следует при этом пренебрегать свободным от предубеждений опытом. Эвристика должна строиться как на основе нашего личного опыта в решении задач, так и из наблюдений за тем, как решают задачи другие. Изучая эвристику, не следует пренебрегать ни одним типом задач (проблем); следует обнаруживать то общее, что имеется в подходе к самым различным проблемам, следует стремиться вскрыть то общее, что есть в решении любой проблемы, независимо от их содержания. Изучение эвристики имеет «практические» цели. Лучшее понимание природы мыслительных операций, оказывающихся чаще всего полезными при решении задач, может оказать положительное влияние на преподавание, особенно на преподавание математики.
Данная книга представляет собой первую попытку реализации этой программы. Укажем, что дают в этом отношении различные статьи нашего словаря.
1. По существу наша таблица содержит перечень мыслительных операций, которые, как правило, полезны при решении всевозможных проблем; вопросы и советы нашей
1 Собственно, corollarium — небольшой венок из цветов, которым римляне награждали отличившихся артистов. (Примечание к русскому переводу. —Ред.)
таблицы подсказывают такие операций. Некоторое из эти* операций снова описываются во второй главе, а некоторые более подробно разбираются и иллюстрируются в первой главе.
Чтобы получить дополнительные разъяснения по отдельным вопросам и советам таблицы, читателю следует обратиться к тем пятнадцати статьям «Словаря», заголовками которых служат первые предложения пятнадцати абзацев таблицы: «Что неизвестно? Возможно ли удовлетворить условию? Сделай черте ж... Нельзя лииспользовать полученный результат?» Читатель, желая получить разъяснение по какому-нибудь пункту таблицы, должен обратиться к первым словам абзаца, в котором находится этот пункт, и затем найти в словаре статью, заглавием для которой служат эти слова. Например, совет «Вернитесь к определениям» находится в абзаце таблицы, первое предложение которого: «Нельзя ли иначе сформулировать задачу?» В статье под этим названием читатель находит ссылку на другую статью: «Определе-н и я», в которой совет, интересующий читателя, объясняется и иллюстрируется примером.
