Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Пойа Д. -> "Как решать задачу" -> 68

Как решать задачу - Пойа Д.

Пойа Д. Как решать задачу: Пособие для учителей. Под редакцией Гайдука Ю.М. — М.: Государственное учебно-педадогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1959. — 207 c.
Скачать (прямая ссылка): krzdpoya1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 79 >> Следующая


Если мы желаем правильно судить о справедливости этих возражений, нам следует различать два случая использования «reductio ad absurdum»: первый — как орудие исследования, второй — как прием изложения материала. Точно такие же различия следует делать и относительно косвенного доказательства.

Нужно признать, что «reductio ad absurdum» как метод изложения материала наряду со своими достоинствами имеет и недостатки. Такое «reductio», в особенности, если оно растянуто, может оказаться невыносимым для читателя или слушателя. Все вытекающие из него выводы, которые мы последовательно рассматриваем, справедливы, но все положения, с которыми нам приходится считаться в процессе доказательства, ошибочны. Даже словесная форма изложения может стать утомительной, если она подчеркивает, а она должна подчеркивать, что все основано на исходном предположении. Слова «гипотетически», «предположительно», «якобы» должны неоднократно повторяться или же какой-нибудь другой прием должен быть найден, который тоже будет многократно повторяться. Нам хочется отвергнуть и забыть положение как невозможное, но приходится сохранять и рассматривать его как основание для последующего шага, и этот внутренний разлад может в конце концов стать невыносимым.

Однако было бы неблагоразумно отказаться совсем от «reductio ad absurdum» как от средства исследования. Оно может прийти нам в голову как вполне естественный

7 Заказ Ni 2650

177

прием «привести к решению, когда все другие средства оказываются бессильными. В этом мы могли убедиться на вышеприведенных примерах.

Надо иметь некоторый опыт, чтобы заметить, что между двумя точками зрения нетсущественныхрасхождений. Практика показывает, что часто нетрудно бывает либо превратить косвенное доказательство в прямое, либо перестроить доказательство, связанное с длительными рассуждениями, методом «reductio ad absurdum», в более приятную форму, из которого «reductio ad absurdum» может даже полностью исчезнуть (или после должной подготовки оно может быть сведено к нескольким ярким выразительным предложениям).

Одним словом, если мы хотим полностью использовать все имеющиеся в нашем распоряжении методы доказательства той или иной истины, мы должны хорошо знать как метод «reductio ad absurdum», так и метод косвенного доказательства. Однако в том случае, когда можно успешно решить задачу одним из этих способов, следует обязательно вернуться к решению и поставить себе вопрос: нельзя ли получить тот же результат иначе?

Проиллюстрируем сказанное примерами.

5. Перестройка «reductio ad absurdum». Вернемся к рассуждениям, изложенным в пункте 1. Решая задачу методом «reductio ad absurdum», мы исходили из допущения, которое в конце концов оказалось невозможным. Однако возьмем ту часть доказательства, которая независима от первоначального ошибочного предположения и содержит правильные предпосылки. Возвращаясь к полученному решению задачи, мы сможем заметить несомненную справедливость следующего положения: если ряд чисел, однозначных или двузначных, написан так, что каждая из десяти цифр встречается только раз, то сумма этого ряда имеет вид:

Юґ-f (45 — *) = 9(* + 5),

т. е. эта сумма делится на 9. Но по условиям предложенной головоломки сумма должна быть равна 100. Возможно ли это? Нет, поскольку 100 не делится на 9.

Таким образом, метод «reductio ad absurdum», который привел к открытию этой аргументации, исчез из нашего нового изложения доказательства.

Между прочим, читатель, знакомый с приемом исключения девяток, теперь может оценить всю аргументацию с одного взгляда.

17S

6. Преобразование косвенного доказательстве? Обратимся к рассуждениям, изложенным в пункте 3. Возвращаясь к завершенному решению и тщательно обдумав весь ход его, мы можем найти ряд аргументов, которые независимы от какого бы то ни было ошибочного допущения. Однако лучший ключ к разгадке решения мы найдем при вторичном рассмотрении смысла именно предложенной задачи.

Как следует понимать утверждение, что ряд простых чисел бесконечен? Очевидно, имеется в виду следующее: когда мы получили какое-нибудь конечное множество простых чисел: 2; 3; 5; 7; 11; ... Р, где P последнее из этих найденных простых чисел, то всегда найдется еще одно простое число. Итак, что нужно предпринять, чтобы доказать существование бесконечного ряда простых чисел? Мы должны указать, каким образом можно найти простое число, отл№ ное от всех известных. Таким образом, наша «задача на доказательство» по существу сведена к следующей «задаче на нахождение»: Даны простые числа: 2; 3; 5) 7; ... Р. Требуется найти новое простое число, отличное от~ всех данных простых чисел.

Придав нашей первоначальной задаче такую формулировку, мы сделали главный шаг. Теперь сравнительно легко увидеть, как использовать наиболее существенные части предыдущей аргументации для нашей новой цели. В самом деле число

Q = (2-3-5.7-ll ...Р)+1

несомненно делится на какое-то простое число. Возьмем—» в этом суть идеи — любой простой делитель числа Q (например, наименьший) и обозначим его N. (Конечно, если Q простое число, то N = Q.) Если величину Q разделить на любое из простых чисел: 2; 3; 5; 7;... Р, то получим в остатке 1. Таким образом, ни одно из этих чисел не может равняться N1 так как N является делителем Q. Это как раз то, что нам нужно: N есть простое число, и оно отлично от всех ранее известных нам простых чисел: 2; 3; 5; 7; 11; ... Р.
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 79 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed