Как решать задачу - Пойа Д.
Скачать (прямая ссылка):
Наш прием «без предубеждений». Мы надеемся либо найти неизвестное, удовлетворяющее условию, либо надеемся доказать, что решить задачу невозможно. Исследование, если оно умело проводится, начинается в обоих случаях с одного и того же — с рассмотрения того предположитель-
174
ного случая, при котором условие удовлетворяется и лишь в ходе решения выясняется, которая из надежд оправдывается.
В подтверждение вышесказанного сравните «Геометрические фигуры», пункт 2. Сравните также П а п п; анализ, результат которого опровергает предложенную теорему или приводит к выводу, что «задача на нахождение» не имеет решения, по существу является «reductio ad absurdum».
3. Косвенное доказательство. Простыми числами являются числа: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; т. е. те натуральные числа, которые не могут быть разложены на меньшие множители и которые больше 1. (Последняя фраза не относится к единице, которая, совершенно ясно, не может быть разложена на меньшие множители. У единицы другие свойства и ее не следует считать простым числом.) Простые числа являются «первичными элементами», на которые все целые числа (больше 1) могут быть разложены. Например:
630 = 2.3-3.5-7
разлагается на произведение пяти простых чисел.
Ряд простых чисел конечен или бесконечен? Естественно предположить, что ряд простых чисел бесконечен. Если бы он кончался, все целые числа могли быть разложены на конечное число простых чисел, и мир оказался бы, так сказать, «слишком бедным». Таким образом, возникает задача доказать, что ряд простых чисел бесконечен.
Эта задача сильно отличается от элементарных математических задач обычного типа, и на первый взгляд кажется, что к ней невозможно подступиться. Однако очень мало вероятно, как мы говорили, что такое последнее простое число, скажем Р, должно существовать. Почему это так мало вероятно?
Непосредственно рассмотрим тот мало вероятный случай, при котором гипотетически, предположительно, якобы, существует некое последнее простое число ряда Р. Тогда конечный ряд простых чисел имел бы такой вид: 2; 3; 5; 7; 11; ...; Р. Почему этот случай так мало вероятен? Где ошибка? Сможем ли мы найти явную ошибку в наших рассуждениях? Безусловно, сможем. Для этого мы образуем такое число:
Q = (2.3.5.7.11 ...Р)+ 1.
175
Раз число Q больше Р, то поэтому Q, очевидно, не может быть простым числом. Следовательно, Q должно делиться на простое число. По нашему предположению, все простые числа ограничиваются рядом: 2; 3; 5; 7; Р. Но если число Q разделить на любое из этих чисел, то получим в остатке !.Следовательно, Q не делится ни на одно из вышеприведенных простых чисел, которые согласно нашему предположению представляют собой все имеющиеся простые числа. Значит, в наших рассуждениях где-то есть ошибка. Или Q должно быть простым числом, или же оно должно делиться на какое-нибудь простое число. Исходя из предположения, что существует последнее простое число Р, мы пришли к явной нелепости. Чем это объясняется? Тем, что наше первоначальное предположение ошибочно. Такого последнего простого числа P быть не может. Таким образом, нам удалось доказать, что ряд простых чисел бесконечен.
Это был типичный пример косвенного доказательства. (К тому же благодаря Евклиду он является широко известным, см. предложение 20 книги IX «Начал».)
Мы доказали исходную теорему (что ряд простых чисел бесконечен) тем, что опровергли не совместимую с ней противоположную теорему (что ряд простых чисел конечен), ибо последняя привела нас к явному абсурду.
Таким образом, в своем доказательстве мы соединили косвенное доказательство с «reductio ad absurdum». В таком сочетании доказательство применяется довольно часто.
4. Возражения. Метод решения задач, который мы изучаем, встречает немало возражений. Многие возражения являются, по-видимому, лишь разновидностями одного и того же основного возражения. Здесь мы рассмотрим доступную нашему пониманию «практическую» сторону основного возражения.
Найти доказательство, которое является плодом большого умственного усилия, несомненно, большое достижение нашей мысли. Но даже чтобы заучить такое доказательство или понять его до конца, требуется определенное умственное усилие. Вполне естественно, что нам хочется, чтобы этот труд не был затрачен даром, т. е. то, что мы сохраним в памяти, было верно и точно, а не ошибочно или абсурдно.
Но сохранить истину, выведенную из доказательства методом «reductio ad absurdum», довольно трудно. Исход-
176
ньтм моментом всех рассуждений является ошибочное предположение, выводы из которого в равной мере ошибочны, но их ошибочность уже несколько более очевидна. Таким образом, мы продолжаем делать выводы из предшествующих до тех пор пока, наконец, не приходим к выводу, ошибочность которого очевидна. Чтобы не загромождать свою память ложными фактами, следует забыть доказательство возможно быстрее. Но, однако, это невозможно, ибо во время работы над доказательством необходимо четко и точно запоминать каждый шаг.
Таким образом, мы получаем следующую сжатую формулировку возражения против метода косвенного доказательства: имея дело с таким доказательством, мы вынуждены все время сосредоточивать свое внимание не на верной теореме, которую следует запомнить, а на ложном допущении, которое следует забыть.
