Как решать задачу - Пойа Д.
Скачать (прямая ссылка):
Как «reductio ad absurdum», так и косвенное доказательство являются эффективными средствами для открытия нового и в пытливом уме возникают как нечто совершенно естественное. Тем не менее они не по вкусу некоторым философам и многим новичкам, что нетрудно понять. Ведь не всем по душе сатирики и политиканы. Сначала мы примерами проиллюстрируем эффективность обоих приемов, а затем рассмотрим возражения против их применения.
1. Reductio ad absurdum. Напишите сумму чисел, равную 100, используя для этого десять цифр, причем каждую цифру можно брать только один раз.
Мы можем кое-чему научиться, пытаясь решить эту головоломку, формулировка которой требует некоторого уточнения.
Что неизвестно? Ряд чисел. Под числами мы здесь подразумеваем, конечно, целые положительные числа. Что дано? Число 100.
В чем состоит условие? Условие состоит из двух частей. Первая часть: составляя ряд искомых чисел, мы должны лишь один раз использовать десять цифр: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. Вторая часть: сумма всех чисел должна быть 100.
Сохраните только часть условий, отбросив остальные. Первую часть условия отдельно легко удовлетворить. Возьмите ряд: 19, 28; 37; 46; 50; каждая цифра появляется только один раз. Однако вторая часть условия не удовлетворяется, ибо сумма этих чисел равняется 180, а не 100. Возможно, мы можем удачнее подобрать цифры. «Попытка не пытка» — говорит пословица, и действительно,
19 + 28 + 30 + 7 + 6 + 5 + 4 = 99.
Здесь первая часть условия удовлетворяется, а вторая почти удовлетворяется: у нас 99 вместо 100. Конечно, если
172
отбросить первую часть условия, мы легко можем удовлетворить второй:
19 + 28 + 31 +7 + 6 + 5 + 4= 100.
Теперь первая часть условия не удовлетворяется: цифра 1 встречается дважды, а нуль ни разу; с остальными цифрами все в порядке. «Пытайся, пытайся снова».
После ряда неудачных попыток, мы начнем подозревать, что при требуемых условиях получить 100 невозможно. В конце концов возникает такая задача: доказать, что невозможно удовлетворить обоим частям предложенного условия одновременно.
Эта задача непосильна даже для довольно хороших учащихся. Однако при правильном подходе решение довольно простое. Для этого необходимо рассмотреть тот предположительный случай, при котором обе части условия удовлетворяются.
Итак, у нас возникло подозрение, что этот случай невозможен и наше сомнение, основанное на опыте наших неудачных попыток, не лишено оснований. Тем не менее, подойдем к делу без предубеждения и рассмотрим случай, при котором гипотетически, предположительно, якобы, обе части условия удовлетворяются. Таким образом, представим себе ряд чисел, сумма которых равна 100. Числа эти должны быть однозначными или двузначными. Всего десять цифр, и все они должны отличаться друг от друга, поскольку каждая цифра: 0; 1; 2; 3; ...; 9, может появляться лишь один раз. Таким образом, сумма всех цифр должна быть :
0+1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45
Некоторые из этих цифр обозначают единицы, а другие десятки. Не нужно быть особо проницательным, чтобы сообразить, что сумма цифр, обозначающих десятки, может играть известную роль. Пусть эта сумма будет t. Тогда сумма оставшихся цифр, обозначающих единицы, будет 45 — t. Следовательно, сумма всех чисел ряда должна быть:
10*+ (45 —?)=100.
Мы получили уравнение, из которого можно определить t. Это уравнение первой степени. Решив его, мы получим:
173
Здесь что-то не так. Значение найденного t представляет собой дробное число, в то время как t должно быть, конечно, целым числом. Исходя из предположения, что обе части предложенного условия могут быть одновременно удовлетворены, мы пришли к явному абсурду. Чем это можно объяснить? Очевидно, наше первоначальное предположение ошибочно. Обе части условия не могут быть удовлетворены одновременно. Итак^мы достигли цели. Нам удалось доказать, что обе части поставленного условия не совместимы.
Наши рассуждения представляют собой типичный пример «reductio ad absurdum».
2. Замечания. Вернемся к рассуждениям, изложенным выше, и осмыслим их основное направление.
Мы хотим доказать, что невозможно решить задачу, удовлетворяющую заданному условию, т. е. что невозможен тот случай, при котором все части условия могут быть удовлетворены одновременно. Однако, хотя мы еще ничего не доказали, но мы обязаны считаться с возможностью такого случая. Лишь рассмотрев этот предположительный случай и тщательно изучив его, можно надеяться обнаружить в нем какую-нибудь явную ошибку. И если мы хотим окончательно подтвердить невозможность нашего предположения, мы должны найти такую явную ошибку. Следовательно, нам ясно,что прием, который оказался удачным для решения нашего примера, разумен вообще, и мы обязаны рассмотреть тот предположительный случай, при котором все части условия удовлетворяются несмотря на то, что он кажется очень мало вероятным.
Более опытный читатель может обнаружить здесь еще одно обстоятельство. Ведь главным моментом в наших рассуждениях было составление уравнения с целью определить величину t. Но к этому же уравнению можно было бы прийти и не подвергая сомнению справедливость условия. Чтобы составить уравнение, мы должны выразить языком математики предположение, что все части условия задачи удовлетворяются, несмотря на то, что мы еще не знаем, возможно ли в самом деле одновременно удовлетворить всем этим частям условия или нет.
