Как решать задачу - Пойа Д.
Скачать (прямая ссылка):
«Определить площадь поверхности шара, вписанного в тетраэдр, все ребра которого даны». Зная ответ указанной выше задачи Архимеда, можно решить эту новую задачу, не обладая его гением, остается лишь выразить радиус вписан-
169
ного шара через ребра тетраэдра. Это не так уж легко, но возникающие трудности не могут сравниться с теми, с которыми столкнулся Архимед.
Единственное отличие легкой задачи от трудной заключается в том, известно ли нам решение какой-нибудь задачи с тем же неизвестным или нет.
5. Когда Архимед приступал к определению площади поверхности шара, он не знал, как мы говорили выше, никакой задачи с тем же неизвестным и решенной ранее. Но ему были известны различные задачи, решенные ранее с подобными неизвестными. Площади некоторых кривых поверхностей определяются легче, чем площадь поверхности шара, и способы их вычисления были известны во времена Архимеда. Такими поверхностями являются, например, 'боковые поверхности прямых круговых цилиндров, прямых круговых конусов и усеченных конусов. Можно не сомневаться, что Архимед тщательно рассматривал эти более простые случаи. В самом деле, в своем решении он пользуется в качестве приближения к шару составным телом из двух конусов и нескольких усеченных конусов (см. «О п р е-деление», п. 6).
Если мы не можем найти ранее решенной задачи с тем же неизвестным, что и в нашей задаче, мы стараемся найти задачу с подобным неизвестным. Последние менее похожи на нашу задачу, чем вышеописанные, и поэтому их труднее использовать в наших целях, но тем не менее в них можно почерпнуть ценные указания.
6. Добавим несколько замечаний о «задачах на доказательство», аналогичные более подробным комментариям к «задачам на нахождение», приведенным выше.
Нам нужно доказать (или опровергнуть) какую-нибудь четко сформулированную теорему. Любая ранее доказанная теорема, чем-нибудь похожая на нашу, может помочь нам. Однако можно ожидать, что более действенную помощь окажут те теоремы, которые содержат такое же заключение, как наше. Учитывая это, мы рассматриваем заключение, т. е. уделяем заключению своей теоремы главное внимание. Наш метод рассмотрения теоремы может быть схематически записан так:
«Если.... то углы равны».
Мы сосредоточиваем свое внимание на заключении нашей теоремы и стараемся припомнить знакомую теорему с тем же или подобным заключением. Мы особенно стараемся вспом-
170
нить какую-нибудь особенно простую, знакомую теорему этого типа.
В рассматриваемом случае имеется несколько различных теорем этого рода, и, возможно, мы вспомним следующую: «Если два треугольника подобны, то их соответственные углы равны». Вот теорема, похожая на вашу и доказанная ранее. Сумеете ли вы воспользоваться ею? Следует ли ввести какой-нибудь вспомогательный элемент, чтобы получить возможность воспользоваться этой теоремой?
Следуя этим советам и стараясь определить, какую помощь нам может оказать теорема, которую мы вспомнили, мы можем составить такой план: попытаемся доказать равенство интересующих нас углов на основании подобия треугольников. Мы видим, что необходимо ввести два треугольника с этими углами и доказать, что они подобны. Такой план является хорошим началом в работе и, возможно, в конце концов приведет нас к желанной цели, как это показано в пункте 19.
7. Подведем итог. Вполне вероятно, что, вспомнив ранее решенные задачи с тем же или подобным неизвестным (ранее доказанные теоремы с теми же или подобными заключениями), мы начнем решать задачу в нужном направлении и, возможно, у нас возникнет правильный план решения. В простых случаях, которые встречаются чаще всего на ранней стадии обучения, имеется обычно достаточное число элементарнейших задач с тем же неизвестным (теорем с тем же заключением). Этот прием — попытка припомнить задачи с тем же неизвестным — сам собой напрашивается и основан на здравом смысле (сравните с тем, что было сказано на этот счет в п. 4). Удивительно, что такой простой и полезный прием недостаточно широко известен. Автор склонен думать, что никогда ранее этот прием не излагался во всей его общности. Во всяком случае и учащийся и преподаватель математики не должны пренебрегать советом: Рассмотрите неизвестное. И постарайтесь вспомнить знакомую задачу с тем же или подобным неизвестным.
Reductio ad absurdum и косвенное доказательство представляют собой различные, но родственные приемы.
Reductio ad absurdum вскрывает ошибочность какого-нибудь предположения тем, что выводит из него явный абсурд. «Приведение к нелепости» является математическим приемом, но имеет некоторое сходство с иронией, любимым
171
приемом сатирика. Ирония принимает, по-видимому, определенную точку зрения, подчеркивает ее и затем настолько ее утрирует, что в конце концов приводит к явному абсурду.
Косвенное доказательство устанавливает справедливость утверждения тем, что вскрывает ошибочность противоположного ему допущения. Таким образом, косвенное доказательство имеет некоторое сходство с надувательским приемом политикана, поддерживающего своего кандидата тем, что опорочивает репутацию кандидата другой партии.
