Как решать задачу - Пойа Д.
Скачать (прямая ссылка):
По сравнению с советом общего характера, более конкретный совет отличается большей определенностью, он рациональнее.
Во-первых, мы можем экономить наши усилия в изложении задачи; не приходится рассматривать всю задачу сразу, а лишь неизвестное. Задача схематически предстанет перед нами в виде:
«Дано... найти длину отрезка».
Во-вторых, имеется известная экономия в выборе. Многие-многие задачи могут быть приведены в связь с данной задачей, имея какие-нибудь точки соприкосновения с ней. Но рассматривая неизвестное, мы ограничиваем свой выбор, мы рассматриваем только те задачи, которые имеют то же неизвестное. И, конечно, из всех задач с тем же неизвестным мы рассматриваем прежде всего наиболее элементарные и наиболее знакомые нам.
2. Задача, стоящая перед нами, записана в виде: «Дано ... найти длину отрезка».
Наиболее простые и наиболее знакомые задачи подобного
167
рода связаны с треугольниками. Даны три элемента треугольника, найти длину одной из сторон. Вспомнив это, мы нашли задачу, которая может помочь нам: вот задача, родственная с данной и уже решенная. Нельзя ли воспользоваться ею? Нельзя ли применить ее результат? Для того чтобы мы могли воспользоваться известными теоремами о треугольниках, в нашей фигуре должен быть треугольник. Имеется у нас треугольник? Или нам следует ввести треугольник, чтобы воспользоваться этими теоремами? Не следует ли ввести какой-то вспомогательный элемент, чтобы стало возможно воспользоваться этой задачей?
Имеется несколько простых задач, в которых неизвестна сторона треугольника. (Эти задачи различаются своими данными — могут быть даны два угла и одна сторона или две стороны и один угол, причем положение угла относительно
что все эти задачи особенно просты для прямоугольных треугольников.) Рассматривая стоящую перед нами задачу, мы стараемся выяснить, какой треугольник нам следует ввести в нее, какую ранее решенную задачу (с тем же неизвестным, что в нашей задаче) нам выгоднее всего применить в данном случае.
После того как мы ввели подходящий вспомогательный треугольник, может оказаться, что нам еще неизвестны три его элемента. Это не существенно, если мы предвидим, что неизвестные элементы можно будет каким-нибудь образом определить. Тем самым мы значительно продвинулись в решении задачи, у нас есть план решения.
3. Суть подхода, схематично изложенного выше (в пп. 1 и 2), иллюстрируется в основном в пункте 10 (иллюстрация несколько нечеткая из-за медлительности учащихся). Совсем нетрудно увеличить число подобных примеров. В самом деле, к решению почти всех «задач на нахождение», обычно предлагаемых на ранней стадии обучения, можно приступить, если правильно следовать совету: и постарайтесь припомнить, знакомую задачу с тем же или подобным неизвестным.
К таким задачам нужно подходить по определенной схеме и прежде всего рассмотреть неизвестное:
1) дано... найти длину отрезка;
2) дано... найти угол;
3) дано... найти объем тетраэдра;
4) дано... построить точку.
данных сторон может
отметить,
168
При наличии некоторого опыта в решении элементарных математических задач мы легко вспомним одну или несколько простых и знакомых задач с тем же неизвестным. Если данная задача сама не принадлежит к числу простых и знакомых задач, мы, естественно, стараемся воспользоваться известными нам решениями таких задач. Мы пытаемся ввести какой-нибудь полезный, хорошо знакомый нам элемент в задачу, и, поступая так, мы приобретаем хороший отправной пункт для дальнейшего исследования задачи.
В каждом из этих четырех вышеупомянутых случаев план решения очевиден, ибо имеется обоснованная догадка о том, каким путем вести решение.
(1) Неизвестное следует определить как сторону некоторого треугольника. Остается ввести подходящий треугольник с тремя известными или легко определяемыми элементами.
(2) Неизвестное следует определить как угол некоторого треугольника. Остается ввести подходящий треугольник.
(3) Неизвестное может быть определено, если площадь основания и высота известны. Остается определить площадь какой-нибудь грани и соответствующую этой грани высоту.
(4) Неизвестное может быть определено пересечением двух геометрических мест, каждое из которых может быть окружностью или прямой. Остается определить, как можно из условия задачи «выудить» такие геометрические места.
Во всех этих случаях план подсказывается простой задачей с тем же неизвестным и желанием использовать метод ее решения или его результат. Следуя этому плану, мы можем, конечно, столкнуться с трудностями, но все же у нас есть отправная идея, а это уже большой шаг вперед.
4. Но у нас не будет такого преимущества, если у нас нет ранее решенной задачи с тем же неизвестным. В этом случае значительно труднее взяться за решение задачи.
«Определить площадь поверхности шара данного радиуса». Эта задача была решена Архимедом. Едва ли есть более простая задача с тем же неизвестным и, конечно, не было более простой задачи, которой Архимед мог бы воспользоваться. И в самом деле, решение Архимеда можно считать одним из самых выдающихся достижений математики.