Как решать задачу - Пойа Д.
Скачать (прямая ссылка):
Новая задача достаточно проста. Подвести нас к идее ее решения может следующее рассуждение.
Разделите условие на части. Условие состоит из двух частей, в одной из которых существенную роль играет данное /г, а в другой — а. Требуется, чтобы искомая точка:
162
(I) находилась на расстоянии h от прямой ВС;
(II) являлась вершиной угла, равного а, стороны которого проходили бы через данные точки В я С.
Если мы сохраним только часть условия, отбросив остальную часть, положение искомой точки не будет полностью определено. Существует бесконечно много точек, удовлетворяющих части (I) условия, а именно: все точки прямой, параллельной ВС, расстояние которой до ВС равно h1. Эта прямая есть геометрическое место точек, удовлетворяющих части (I) условия.
Геометрическое место точек, удовлетворяющих части (II), есть дуга некоторой окружности; концами этой дуги являются точки В и С. Мы в состоянии построить оба геометрических места; их пересечение даст нам искомую точку.
Примененный здесь метод представляет известный интерес. Решая геометрические задачи на построение, мы часто с успехом можем следовать этому образцу, т. е. сводить данную задачу к задаче на построение некоторой точки, а затем находить искомую точку как пересечение двух геометрических мест.
Более того, один из важных этапов приведенного выше рассуждения — сохранение части условия и отбрасывание остальной части — представляет интерес и с более общей точки зрения. Мы можем следовать этому образцу, решая всевозможные «задачи на нахождение». При этом мы ослабляем условие задачи, снимая часть ограничений, наложенных на неизвестное.
Насколько определенным останется тогда неизвестное; как сможет оно меняться? Задавая этот вопрос, мы фактически ставим новую задачу.
Если неизвестным служит точка на плоскости (как в рассмотренном нами примере), решение этой новой задачи состоит в определении геометрического места возможных положений этой точки. Если неизвестным служит математический объект какой-либо иной природы (например, квадрат в п. 18), нам приходится должным образом вводить понятие множества объектов и точно определять то множество объектов, которое является искомым. Даже в случае,
1 Плоскость разбивается прямой ВС на две полуплоскости. Мы выбираем одну из них и предполагаем, что именно в ней лежит искомая точка А. Поэтому мы ограничиваемся рассмотрением одной прямой, параллельной. ВС. В противном случае, нам пришлось бы рассматривать две прямые, параллельные ВС. (Примечание автора.)
6*
163
когда неизвестноеу не есть математический объект (как в следующем примере, п. 8), может оказаться полезным рассмотреть, описать или перечислить объекты, удовлетворяющие некоторой части условия, наложенного на неизвестное в первоначальной задаче.
8. Пример. Решая кроссворд, в котором допускаются игра слов и анаграммы, мы встречаем следующий ключ:
«В обоих направлениях вращающаяся деталь машины (5 букв)».
Что неизвестно? Слово.
В чем состоит условие? Слово должно состоять из 5 букв. Оно должно обозначать какую-то вращающуюся деталь какой-то машины. Оно должно быть русским словом, причем будем надеяться, не чересчур редким.
Достаточно ли условие для определения неизвестного? Нет.
Слишком много слов удовлетворяют условию, таких, как «рычаг», «ролик», «гайка» и т. д. Условие выражено двусмысленно; это, конечно, сделано намеренно. После ряда безуспешных попыток найти слово, обозначающее деталь машины, для которой характерным признаком было бы вращение в обоих направлениях, мы начинаем подозревать, что имеется в виду чтение в обоих направлениях. Такое толкование ключа может оказаться прекрасной догадкой.
Разделите условие на части. Условие задачи состоит из двух частей, в одной из которой существенную роль играет значение слова, а в другой — комбинация букв, составляющих это слово.
Требуется, чтобы искомое слово:
(I) обозначало вращающуюся деталь некоторой машины,
(II) состояло из 5 букв, причем при чтении в обратном направлении эти буквы должны давать снова слово, обозначающее вращающуюся деталь машины.
Если оставить часть условия, отбросив остальную часть, неизвестное окажется не вполне определенным. Существует много слов, удовлетворяющих части (I) условия; они образуют нечто вроде «геометрического места». Мы можем «построить» «геометрическое место» (I) и затем, «следуя» вдоль него, дойти до пересечения с «геометрическим местом» (II). Естественно сосредоточить свое внимание на части (I) условия, найти несколько слов с данным значением, а затем исследовать каждое из них в отношении количества букв и возможности читать его в обоих направлениях.
164
Возможно, нам придется вспомнить несколько слов, прежде чем мы наткнемся на искомое: рычаг, муфта, гайка, ролик, ротор, ... Ну, конечно, «ротор»!
9. В пункте 3 мы дали классификацию тех возможностей, которые возникают при объединении вновь элементов, на которые была разложена исходная задача «на нахождение». Если мы намерены составить из этих элементов не одну новую задачу, а две или более, перед нами открываются большие возможности, о которых мы, однако, лишь упоминаем, оставляя в стороне их классификацию.
