Как решать задачу - Пойа Д.
Скачать (прямая ссылка):
4. Сохранение неизвестного при изменении данных и условия часто дает полезное преобразование исходной задачи. Совет «рассмотрите неизвестное» рекомендует сопоставить задачи с одним и тем же неизвестным. Мы можем попытаться воскресить в памяти задачу подобного рода, решенную прежде.
Постарайтесь вспомнить знакомую задачу с тем же или подобным неизвестным. Если нам не удалось вспомнить такую задачу, мы можем попытаться ее придумать: нельзя ли придумать другие данные,из которых можно было бы определить неизвестное?
Чем теснее связана новая родственная задача с исходной, тем вероятнее, что она окажется полезной. Поэтому, сохраняя неизвестное, мы пытаемся сохранить также некоторые данные и некоторую часть условия, изменяя как можно меньше лишь одно или два данных и небольшую часть условия. Лучший метод состоит в том, что мы что-то опускаем, ничего не прибавляя. Мы сохраняем неизвестное, оставляем лишь часть условия, отбрасывая оставшуюся часть, не вводя в условие ничего нового и не добавляя данных. Примеры и замечания к этому случаю даны ниже, в пунктах 7, 8.
5. Сохранив данные, мы можем попытаться ввести новое неизвестное, найти которое оказалось бы легче, чем разыскать первоначальное неизвестное. Это неизвестное должно определяться первоначальными данными; именно такое новое неизвестное мы и имеем в виду, задавая вопрос: нельзя ли извлечь что-либо полезное из данных?
Заметим, что здесь желательны две вещи. Во-первых, новое неизвестное должно быть доступнее, т. е. найти его-из
160
данных должно быть легче, чем первоначальное неизвестное. Во-вторых, новое неизвестное должно оказаться полезным, т. е., будучи найдено, оно должно принести определенную пользу для разыскания первоначального неизвестного. Короче говоря, новое неизвестное должно быть подобно камню, лежащему посредине ручья. Этот камень ближе ко мне, чем другой берег, на который я хочу перебраться. Поэтому, ступив сначала на камень, я оказываюсь ближе к своей окончательной цели.
Новое неизвестное должно оказаться и доступным и полезным; однако на практике нам часто приходится довольствоваться меньшим. Если нет ничего лучшего, из данных стоит извлечь хоть что-нибудь, что имеет шансы оказаться полезным.
Разумно также попытаться извлечь пользу из введения нового неизвестного, тесно связанного с первоначальным, хотя бы, на первый взгляд, и не кажущегося доступнее.
Так, например, решая задачу о диагонали прямоугольного параллелепипеда (п. 8), мы можем в качестве нового неизвестного ввести диагональ грани. Мы поступаем так, либо зная, что с помощью диагонали грани мы можем найти диагональ параллелепипеда (как в п. 10), либо видя, что диагональ грани найти легко, и подозревая, что она окажется полезной при решении исходной задачи. (Ср. «Все ли данные вами использован ы?», п. 1.)
Если задача состоит в построении окружности, нам нужно найти две вещи — ее центр и ее радиус; можно ска-зать,ч что задача состоит из двух частей. В некоторых случаях одна часть оказывается доступнее другой; поэтому, во всяком случае, эту возможность целесообразно рассмотреть: нельзя ли решить часть задачи?
Задавая себе этот вопрос, мы взвешиваем шансы: стоит ли сосредоточить все внимание именно на центре окружности или именно на радиусе, выбрав либо первое, либо второе в качестве нового неизвестного? Вопросы подобного рода часто приносят пользу. В сложных или трудных задачах идея, приводящая к решению, часто состоит в выделении из задачи более доступной, но существенной части.
6. Изменяя и неизвестное и данные, мы в большей степени отходим в сторону от первоначальных намерений, чем в предыдущих случаях. Естественно, это не очень-то нам нравится; мы ощущаем опасность совсем потерять из виду первоначальную задачу. Однако мы вынуждены идти на столь
6 Заказ No 2650
161
значительные изменения, если менее радикальные не дали ничего доступного и полезного. Иногда новая задача, стоящая довольно далеко от исходной, привлекает нас своей доступностью.
Нельзя ли изменить неизвестное, или данные, или, если необходимо, и то и другое, так, чтобы новое неизвестное и новые данные оказались ближе друг к другу?
Интересный способ изменения и неизвестного и данных состоит 9 перемене ролей неизвестного и одного из данных.
(см. «Нельзя ли использовать полученный результат?», п. 3.)
7. Пример. Построить треугольник по данной стороне а, высоте h, опущенной на эту сторону, и углу а, противолежащему этой стороне. фиг 2г: Что неизвестно? Треуголь-
ник.
Что дано? Отрезки а и h и угол а.
Если мы в какой-то степени знакомы с геометрическими задачами на построение, мы, конечно, попытаемся свести задачу к построению некоторой точки. Строим отрезок ВС заданной длины а; теперь нам остается лишь найти вершину А искомоготреугольника,противолежащуюсторонеВС(фиг.25).
Итак, мы пришли к такой новой задаче:
Что неизвестно? Точка А.
Что дано? Отрезок h, угол а и две фиксированные на плоскости точки В и С.
В чем состоит условие? Расстояние точки А от прямой ?C должно быть равным h, а угол ВАС должен быть равным а. Таким образом, мы преобразовали исходную задачу, изменив как неизвестное, так и данные. В самом деле, новое неизвестное — точка, тогда как старым неизвестным являлся треугольник. Некоторые данные одни и те же в обеих задачах — отрезок h и угол а, однако теперь мы имеем дело с данными точками В и С, тогда как в исходной задаче была задана длина а.
