Как решать задачу - Пойа Д.
Скачать (прямая ссылка):
Разделите условие на части. Постарайтесь записать их. Этот совет нам часто представляется возможным предложить при составлении уравнений.
Разложение и составление новых комбинаций представляют собой важные мыслительные процессы.
Вы рассматриваете некоторый объект, интересующий вас или возбуждающий ваше любопытство: дом, который вы намерены взять внаем, важную, но загадочную телеграмму, любой предмет, назначение и происхождение которого вы
157
не можете объяснить, любую задачу, которую вы хотите решить. Вы имеете некоторое представление об этом объекте как о целом, но, возможно, ваше представление лишено ясности и определенности. Вас поражает какая-либо частная деталь, вы сосредоточиваете на ней свое внимание. Затем вы переносите свое внимание на другую деталь, затем на третью и т. д.
Вам в голову может прийти сопоставить несколько деталей, рассматривая их в различных комбинациях; через некоторое время вы снова возвращаетесь ко всему объекту как к целому, но воспринимаете его уже по-иному. Вы разлагаете целое на части, а затем снова объединяете части в целое, которое вам теперь представляется уже в ином свете.
1. Начав вдаваться в детали, вы можете в них запутаться. Обилие частностей или чрезмерная детальность их рассмотрения отягощают мышление. Они могут помешать вам обратить достаточное внимание на главное или вообще увидеть это главное. Подумайте о человеке, который из-за деревьев не увидел леса.
Конечно, нам не хочется тратить время на ненужные детали; мы должны направить наши усилия на выяснение существа дела. Трудность здесь в том, что мы не знаем заранее, какие именно детали в конце концов окажутся необходимыми.
Поэтому прежде всего попытаемся воспринять задачу в целом. Поняв постановку задачи, мы в большей степени сможем судить о том, какие частности окажутся наиболее существенными.
Исследовав их, мы в состоянии судить и о том, какие дальнейшие детали заслуживают подробного рассмотрения.
Мы должны входить в детали и разлагать задачу постепенно, но лишь до такой степени, какая действительно необходима.
Конечно, учитель не может ожидать, что с этой точки зрения все учащиеся будут действовать разумно. Напротив, некоторые из них имеют глупое и вредное обыкновение начинать заниматься деталями, не поняв всю задачу в целом.
2. Мы рассмотрим сейчас математические задачи «на нахождение».
Уяснив себе задачу в целом, то главное, что в ней содержится, и цель, которую она ставит перед нами, мы намерены перейти к деталям. С чего нам начать?
158
Почти во^всех случаях разумно начинать с рассмотрения главных элементов задачи, т. е. неизвестного, данных и условия. Почти всегда рекомендуется начинать детальное рассмотрение задачи с вопросов: Что неизвестно? Что дано? В чем состоит условие?
Как мы должны поступить, желая исследовать дальнейшие детали? Очень часто оказывается полезным исследовать каждую в отдельности, разделить условие на части и рассмотреть отдельно каждую часть.
Может оказаться необходимым, особенно, если задача трудна, осуществить ее дальнейшее разложение и рассмотреть возникающие при этом новые детали. Но иногда приходится возвращаться к определению некоторого понятия, вводить новые элементы, фигурирующие в этом определении, и заниматься исследованием этих вновь введенных элементов.
3. Разложив задачу, мы стараемся вновь объединить ее элементы, но уже каким-то новым образом. В частности, можно попытаться составить из элементов задачи новую, более легкую задачу, Которую, возможно, нам удастся использовать в качестве вспомогательной.
Конечно, объединить вновь части, на которые разложена задача, можно, составляя из них самые различные комбинации.
Трудная задача требует исключительных, оригинальных комбинаций, найти которые нелегко. В оригинальности комбинации проявляется изобретательность решающего задачу. Однако существуют некоторые обычные и сравнительно простые виды комбинаций, которые оказываются достаточными в случае более или менее простых задач и которые должны быть нам знакомы. К ним-то и нужно прибегнуть прежде всего, даже если в конце концо§ придется применить и не столь очевидные средства.
Ниже приводится формальная классификация, охватывающая наиболее обычные и часто применяемые комбинации. Чтобы преобразовать данную задачу в некоторую новую, можно:
1) сохранить неизвестное, изменив остальное (данные и условие);
2) сохранить данные, изменив остальное (неизвестное и условие), или, наконец,
3) изменить и неизвестное и данные. Ниже мы рассмотрим эти случаи.
159
[Случаи 1) и 2) частично совпадают. Действительно, можно оставить прежними и неизвестное и данные и преобразовать задачу, изменив лишь условие. Например, следующие две задачи, хотя и явно эквивалентны, но не тождественны:
Построить равносторонний треугольник по данной его стороне.
Построить равноугольный треугольник по данной его стороне.
Разница в формулировках двух задач, незначительная в этом примере, может оказаться существенной в других случаях. Рассмотреть случаи подобного рода, несмотря на их важность, здесь мы не имеем возможности. (Ср. «В с помог ате ль на я задача», п. 7, последнее замечание.)]
