Как решать задачу - Пойа Д.
Скачать (прямая ссылка):
Многих ошибок можно избежать, если, выполняя свой план, ученик проверяет каждый шаг. Большая часть пользы от задачи может быть потеряна, если ученику не удается, рассматривая уже полученное решение, должным образом изучить, проанализировать его.
7. Понимание постановки задачи. Глупо отвечать на вопрос, который вы не поняли. Невесело работать для цели, к которой вы не стремитесь. Такие глупые и невеселые вещи часто случаются как в школе, так и вне ее, однако учителю следует стараться предотвращать их в своем классе. Ученик должен понять задачу. Но не только понять; он должен
16
хотеть решить ее. Если ученику не хватает понимания задачи или интереса к ней, это не всегда его вина. Задача должна быть умело выбрана, она должна быть не слишком трудной и не слишком легкой, быть естественной и интересной, причем некоторое время нужно уделять для ее естественной и интересной интерпретации.
Прежде всего, должна быть понята словесная формулировка задачи. Проверить это учитель до некоторой степени может; он просит ученика повторить формулировку задачи, и ученик должен оказаться в состоянии легко это сделать. Ученик также должен быть в состоянии указать главные элементы задачи — неизвестное, данное, условие. Таким образом, учитель редко может позволить себе обойтись без вопросов: что неизвестно? Что дано? В чем состоит условие?
Ученик должен внимательно, многократно и с разных сторон рассмотреть главные элементы задачи.
Если с задачей связана какая-либо геометрическая фигура, он должен сделать чертеж и указать на нем неизвестное и данные. Если необходимо как-нибудь назвать эти объекты, он должен ввести подходящие обозначения; уделяя определенное внимание подходящему выбору символов, он принужден сосредоточивать свои мысли на объектах, для которых нужно подыскать символы.
Имеется еще один вопрос, который может оказаться полезным на этой предварительной стадии при условии, что мы не будем ждать окончательного ответа на него, а будем рассчитывать лишь на временный ответ, догадку: Возможно ли удовлетворить условию?
(Развивая сказанное в части II, стр. 40, мы будем «Понимание постановки задачи», подразделять на две стадии: «Мы знакомимся с задачей» и «Мы вникаем в задачу».)
8. Пример. Проиллюстрируем некоторые положения, разобранные в предыдущем пункте. Возьмем простую задачу: Найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, длина, ширина и высота которого известны.
Чтобы извлечь пользу из этой задачи, ученики должны быть знакомы с. теоремой Пифагора и с некоторыми ее планиметрическими приложениями, но предварительные систематические познания в стереометрии не необходимы. Здесь учитель может положиться на знакомство учеников с пространственными отношениями, вытекающее из их повседневной практики.
17
Учитель может сделать задачу интересной, конкретизируя ее. Классная комната представляет собой прямоугольный параллелепипед, длина, ширина и высота которого могли бы быть измерены и оценены приближенно; ученики должны найти, «измерить косвенно», диагональ классной комнаты. Учитель показывает длину, ширину и высоту класса, жестом проводит воображаемую диагональ и оживляет далее свой чертеж, сделанной на доске, многократно возвращаясь к рассмотрению классной комнаты.
Диалог между учителем и учащимися может начаться, например, так:
«Что неизвестно?»
«Длина диагонали параллелепипеда». «Что дано?»
«Длина, ширина и высота параллелепипеда». «Введите подходящие обозначения. Какой буквой обозначим неизвестное?» «х».
«Какие буквы вы бы выбрали для длины, ширины и высоты?» «а, Ь, с».
«В чем состоит условие, связывающее a, і, с и л:?»
«х есть диагональ параллелепипеда, длина, ширина и высота которого равны а, 6 и с».
«Имеет ли задача смысл? То есть, достаточно ли условие для определения неизвестного?»
«Да, достаточно. Если известны а, 6 и с, то известен и параллелепипед. Если параллелепипед определен, то и его диагональ определена».
9. Составление плана. У нас есть план, если нам известно, хотя бы в общих чертах, какие вычисления шщ построения нам придется проделать, чтобы получить неизвестное. Путь от понимания постановки задачи до представления себе плана решения может быть долгим и извилистым. И действительно, главный шаг на пути к решению задачи состоит в том, чтобы выработать идею плана. Эта идея может появляться постепенно. Или она может возникнуть вдруг, в один миг, после, казалось бы, безуспешных попыток и продолжительных сомнений. Тогда мы назовем ее «блестящей идеей».
Лучшее, что может сделать учитель для учащегося, состоит в том, чтобы путем неназойливой помощи подсказать ему блестящую идею. Вопросы и советы, которые мы
18
собираемся анализировать, и предназначены для того, чтобы подсказывать такую идею.
Чтобы быть в состоянии понять положение дел учащегося, решающего задачу, учитель должен вспомнить свой собственный опыт, свои трудности и успехи в решении задач.
Мы знаем, конечно, что трудно рассчитывать на удачную идею, имея слабые познания в предмете, и невозможно найти такую идею, не имея никаких познаний. Хорошие идеи имеют своим источником прошлый опыт и ранее приобретенные знания. Одних воспоминаний мало, чтобы найти хорошую идею, но у нас не может быть никаких хороших идей, если в нашей памяти не хранится достаточно необходимых фактов; одних строительных материалов мало, чтобы воздвигнуть здание, но мы не можем воздвигнуть здания без нужных строительных материалов. Эти материалы, необходимые для решения математической задачи, представляют собой определенные, имеющие отношение к задаче, крупицы прежде приобретенных математических знаний, такие, как решенные ранее задачи или доказанные ранее теоремы. Таким образом, часто оказывается уместным начать работу с вопроса: известна ли вам какая-нибудь родственная задачи?
