Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Пойа Д. -> "Как решать задачу" -> 56

Как решать задачу - Пойа Д.

Пойа Д. Как решать задачу: Пособие для учителей. Под редакцией Гайдука Ю.М. — М.: Государственное учебно-педадогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1959. — 207 c.
Скачать (прямая ссылка): krzdpoya1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 79 >> Следующая


Размерность произведения равна произведению размерностей сомножителей. Имеется также подобное правило относительно степеней. Подставляя размерности вместо величин в обе части уравнения, которое мы проверяем, получаем

см2 = 1 . см УCM2.

Ясно, что это верно, и, таким образом, проверка не могла обнаружить какую-либо ошибку в формуле. Формула выдержала проверку.

Другие примеры приводятся в пункте 14 и «Нельзя ли проверить результа т?», пункт 2.

2. Мы можем использовать метод проверки по размерностям в отношении окончательных результатов задачи или промежуточных результатов, к своей работе или к работе других (очень подходящий прием для выявления ошибок в контрольных работах), а также для проверки формул, которые мы вспомнили, или же для проверки предполагаемых формул, о существовании которых мы лишь догадываемся.

Если вы вспомнили формулы 4яг2 и ~ тгг3 для поверхности и объема шара, но не совсем уверены, какая куда относится, проверка по размерностям быстро устраняет сомнение.

3. В физике проверка по размерностям играет даже более важную роль, чем в геометрии.

Рассмотрим математический маятник, т. е. небольшое тяжелое тело, подвешенное на проволоке, длину которой можно считать постоянной и весом которой можно пренебречь. Пусть I —длина проволоки, g — ускорение силы тяжести, a T —период колебания маятника.

По соображениям механики, мы приходим к выводу, что T зависит лишь от / ид. Но как выражается эта зависимость? Возможно, мы вспомним или сообразим, что

T=clmg\

где с, тип — определенные числовые постоянные, т. е. мы полагаем, что T пропорционально величинам / и g, возведенным соответственно в степени тип.

147

Рассматриваем размерности. Поскольку T есть время, а оно измеряется секундами, его размерность — секунды. Размерность Длины Z — см, размерность ускорения g — см. сек'2, а размерность числового постоянного сесть 1. Проверка по размерностям дает уравнение

сек. = 1 (см)т(см-секгл)п

или

сек. = (см)т+я-секГгя.

Но степени основных едидиц см и сек. в обеих частях должны быть одинаковы и, таким образом, получаем:

0 = т-\-п и 1==-2«,

откуда

1 1

tl =--2 » а т — -2'

Следовательно, формула для периода T должна иметь вид:

В этом случае проверка по размерностям дает немало, но не может дать всего. Во-первых, она не дает никаких сведений о численном значении постоянной величины с (которое равняется 2тт). Во-вторых, она ничего не говорит о пределах, в которых формула применима. Эта формула справедлива при небольших отклонениях маятника и то лишь приближенно (она точна при «бесконечно малых» отклонениях). Несмотря на эти ограничения, нет сомнения, что рассмотрение размерностей позволило нам средствами элементарнейших приемов быстро предвидеть очень существенную часть решения, исчерпывающее изучение которого требует более серьезных приемов. И это справедливо в отношении многих подобных случаев.

Продвижение и достижение. Вы продвинулись в решении задачи? В чем суть вашего достижения? Вопросы такого рода мы можем задавать как себе, когда мы сами решаем задачу, так и учащемуся, решающему ее под нашим руководством. Мы привыкли более или менее уверенно судить о продвижении и о достижениях в конкретных случаях. Но перейти от таких конкретных случаев к обобщенному изложению вопроса очень нелегко. Однако, если мы желаем изложить учение об эвристике более или менее полно, мы

148

должны попытаться уяснить себе, из чего состоит в общих чертах продвижение и достижение при решении задач.

1. Чтобы решить какую-нибудь задачу, мы должны иметь определенный запас знаний в той области, к которой наша задача относится, и нам приходится собирать и отбирать все имеющиеся у нас сведения, связанные с нашей задачей. Эти сведения до начала решения были лишь потенциальными. Наше понимание задачи значительно полнее в конце, чем оно было, когда мы только приступали к ней; что добавилось? То, что нам удалось вспомнить. Для того чтобы решить задачу, нам приходится припоминать различные существенные факты. Если наша задача математическая, приходится вспомнить ранее решенные задачи, знакомые теоремы, определения. Восстановление в памяти сведений, относящихся к задаче, можно назвать мобилизацией.

2. Однако, чтобы решить какую-нибудь задачу, недостаточно вспомнить изолированные сведения, мы должны комбинировать эти факты, и их комбинация должна быть хорошо приспособлена к решению имеющейся у нас задачи. Таким образом, при решении математической задачи мы должны объединить все, что мы вспомнили, и на этом основании выдвинуть такой отдельный довод доказательства, который был бы хорошо приспособлен к целому. Эту работу по приспособлению и комбинированию фактов можно назвать организацией.

3. По существу, отделить мобилизацию от организации невозможно. Сосредоточивая все свое внимание на задаче, мы припоминаем лишь те факты, которые более или менее связаны с нашей задачей, и соединяем и организуем лишь то, что вспомнили и мобилизовали.

Мобилизация и организация лишь два аспекта одного и того же сложного процесса, имеющего еще много других аспектов.
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 79 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed