Как решать задачу - Пойа Д.
Скачать (прямая ссылка):
8. (4* + 4-*) — 54 (2* + 2" х) + 101 = 0.
Это «задача на нахождение» и не такая уж легкая для начинающего математика. Он должен иметь представление об анализе, разумеется, не о слове «анализ», а представление о том, что можно прийти к цели посредством повторной редукции. Кроме того, он должен быть знаком с уравне-
134
ниями простейших видов. Даже при наличии известных знаний нужна хорошая идея, немного везения и немного изобретательности, ^тобы заметить, что поскольку 4*=(2*)2 и 4~*=(2*)~2, то, возможно, выгодно будет ввести неизвестное
У =2*.
Что эта замена в самом деле выгодна, говорит уравне-ние, полученное при подстановке у
которое проще, чем первоначальное. Но это еще не вее. Нужна еще некоторая изобретательность, еЩе одна замена. При подстановке
г=У + ~
У^ У
первоначальное уравнение примет вид: 8z2 — 54z + 85 = 0.
Если решающий эту задачу знаком с решением квадратных уравнений, то на этом анализ завершается. Что такое синтез? Выполнение шаг за шагом вычислений, возможность которых предполагалась в ходе анализа. Лицо, решающее задачу, не нуждается в какой-либо новой идее, чтобы закончить свою работу; ему нужны только терпение и внимание в вычислении различных неизвестных.
Не нужно никаких новых идей, а нужно лишь терпеливо и внимательно вычислять различные неизвестные. Порядок вычислений обратен порядку изобретения решения, т. е. сначала определяется z (z=5/2,17/4)» затем У (У=%> 4, */4) и, наконец, то, что первоначально требовалось найти х(х=\у —1, 2, —2). Следовательно, синтез имеет направление, обратное направлению анализа, и в данном случае нетрудно понять почему.
4. Нематематический пример. Первобытный человек хочет перейти ручей, но он не может пересечь его обычным путем, ибо уровень воды поднялся за ночь. Таким образом, переход становится проблемой, где «переход ручья», становится неизвестным х этой примитивной проблемы. Этот человек, возможно, вспомнит, что когда-то он переходил другой ручей по повалившемуся дереву. Он начнет осматриваться, чтобы найти такое повалившееся дерево.
135
Это дерево становится его новым неизвестным, его у. Предположим, что ему не удалось обнаружить такого повалившегося дерева. Но вдоль ручья стоит множество деревьев. Ему захочется, чтобы одно из них упало. Сможет ли он заставить дерево упасть поперек ручья? Ведь это замечательная идея! Но возникает новое неизвестное: каким образом повалить дерево поперек ручья?
Если принять терминологию Паппа, то такой ход мыслей следует назвать анализом. И, действительно, этот первобытный человек может стать изобретателем моста и топора, если ему удастся завершить свой анализ. Что же будет в этом случае синтезом? Претворение этих идей в действия. Завершающим шагом синтеза будет переход по дереву через ручей.
Одни и те же элементы составляют анализ и синтез. Они упражняют ум человека при анализе и его мускулы при синтезе. Анализ заключается в мыслях, синтез — в действиях. Есть еще одна разница—противоположность порядка. Переход через ручей есть первое желание, от которого берет свое начало анализ, он же является заключительным действием синтеза.
5. Наша перефраза несколько более четко, чем оригинал, указывает на естественную связь, существующую между анализом и синтезом. После вышеприведенных примеров эта связь очевидна. Естественно, сначала идет анализ, затем синтез. Анализ есть изобретение, синтез — исполнение, анализ — есть составление плана, а синтез — его осуществление.
6. Наша перефраза сохраняет и даже подчеркивает отдельные любопытные фразы оригинала: «считаем уже выполненным то, что по условиям задачи требуется сделать, искомое — уже найденным, то, что требуется доказать,— доказанным». Это звучит парадоксально. Разве не самообман считать, что проблема, ожидающая своего разрешения, уже решена? Это не совсем ясно. Как это понять? Однако, если мы внимательно подумаем над смыслом контекста и без предубеждения постараемся разобраться в своем личном опыте решения задач, то вряд ли смысл будет неясным.
Действительно, рассмотрим сначала «задачу на нахождение». Неизвестное обозначим через х, а данные — через о, о, с. «Считать, что задача уже решена», значит предположить; что существует такой х, который удовлетворяет условию, т. е. находится в такой зависимости от а, Ъ и с, какая
136
предусмотрена условием задачи. Это предварительное предположение делается лишь для того, чтобы можно было приступить к анализу. Оно временно и безвредно. Ибо, если такой величины не существует} то анализ ни к чему не приводит нас, он неизбежно приводит нас, в конце концов, к такой задаче, которая не имеет решения; отсюда становится очевидным, что наша задача не имеет решения. Тогда наше допущение оказывается полезным. Таким образом, чтобы анализировать условие, мы должны представить себе или мысленно вообразить те геометрические отношения, которые существуют между X и а, Ь, с по условию задачи. Каким же образом можно сделать это иначе, как не представить себе, не вообразить, как не видеть мысленно, что х существует? И, наконец, такое допущение вполне естественно. Тот первобытный человек, мысли и поступки которого мы рассматривали в пункте 4, воображает, что переходит ручей по повалившемуся дереву, еще задолго до того, как ему на самом деле удается это сделать. Он видит свою проблему «решенной». Цель «задачи на доказательство» — доказать некую теорему А. Совет «допустить, что теорема А доказана», лишь дает нам повод делать выводы из теоремы A1 хотя мы ее еще не доказали. Возможно, что люди определенного умственного склада или определенного философского мировоззрения не пожелают делать выводы из недоказанной теоремы. Но таким людям не дано заниматься анализом.
