Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
^ у2 ^-+~ х« ) ху + у2 Х3 _ 2лг2у + Л'у2 *
1
+ уз) + (* + у)з (* + у)'
ах+ by ал: — 6 у ' Л^ + ^у2 <&х* — Ъ*уЬ '
X , у .1 1 *? + Зу*
X* + X*y + + уЗ I Х3 — д;2у _|_ л;у2 _ уЗ ~1 ^2 у2 д;2 _|_ у2 X4 — )Н
6 — с , с — а , а — 6 , (Ь — с) (с — а) (а — Ь) b + с T+a ~a+b (6 + с) (с + а) (а + Ь) '
(a + ?)(a + c) ^ (? + c)(? + a) "Г (с + а)(с + ч ' (Ъ + с)(с + а)(а + Ь)
§ 1. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДРОБЕЙ
19
13. 14. 15. 16.
17.
18. 19.
20,
21.
22. 23. 24. 25.
27. 28. 29. 30.
31. 32.
(Д - X) (а —у) (а — г) (b — x)(b — y)(b — z) (с — х) (с —у)(с-z)
(a — b)(a — c) (b — c)(b — a) (с — а)(с — b)
a?(x — b)(x — c) . b*(x — c)(x — a) , с* (х — а) (х — Ь)
(a — b)(a — c) (b — c)(b — а) (с — а)(с — Ь) '
о3 і і с3
(а — Ь) (а —с) ' — л) (& — <?)¦* (с —л) (с —6) '
O4 , С4
(л — Ь)(а — с) 1 (6 — с) (6-а) 1 (с — а) (с — Ь) '
—- I I I -
be (x — af , са (х — bf , (х — cf
(а — Ь)(а — с) (6 —с) (6 —я) (с — л) (с — Ь) '
аЦа + Ь)(а + с) , b2 (b + с) (b + а) . с"(с + ^)(с + ^)
(а — 6) (а — с) ' (Ь— с) (Ь — а) (с — а) (с — Ь)
U^/ в ь* ^
У ~У У^ ^У4" У + У~~
(уЧ + 0(Ы)'
у* ~ х* \ у ^ X J д* + Ь* + с3 — ЗдЬс {a-bf + (b-cf + (c-gf be — a2 + са — А2 + ab — с2
a (be — a?) + b (са — b2) + c (ab — с2) ' (а ь + с) (cb — a2) + (be + са+ ab) (g — b) + (be + са + ab) (а — с)
cb — dl + b (g — b) + с (a — с) (a + b+c) (be — 0?) + (а* + b* + с*) (a — b) + (a* + b* + с2) (a — c) be —a? +b (a —b) +с (a —c) m (ЬЧ3 — ЬЧ2) + m* (ЬЧ — be3) + m3 (be* — ЬЧ) а (ЬЧ* — ЬЧ*) + а* (ЬЧ — be3) + a? (be* — ЬЧ) л * (a — b)(a + b+c)(a + b — c)
2аЧ2 + 2ЬЧ* + 2c2a2 — а* — Ь* — с±л (x + yf ~х" — у7 (X + yf — хь — уз •
(у2 „ 22) уЗ (2Ъ _ ^?) 4- г3 (^? __ у2) Х*{у — г) + у*{г — х) + 3*{х — у) '
(а? — b^f + (b* — c^f + (с* — а*)3 (a — bf + (b — cf + (c — af '
*4 (y — z) + у4 (z — х) + z* (X — у) (y+zf + (z + xf + (x + yf •
(1 + ab) [1 + a?+(fl+6) х] — (а + 6) [д + b + (1 + ab) х\
33. 34.
"Г а + Ь + (1 +^)х 1? [1 + ^ + (а + Ь) х\*
[\+ab + (a + b)x\
х* — х + \ , 2x(x—\f . 2^(^-1)?
Х2 + X + 1 ~l~ Х4 + ^ + 1 "Т" АГ» + AT* + 1 '
(1 — 10*? + 5jc*) (5 — 30л? + 5х*) + (Ьх — IQx3 + х*) (2Ox — 2Ox3) (Ъх — Юхз + xrof + (1 — 10*3 + 5х4)2
2*
Алгебра. Гл. II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ
V у * г J yz ZX ху
1 Ix у
36. a (X-г-у)+ а~Х '"У-t <«-^
С*
37.
38.
39.
40.
[1+ a + b + (д+
(a + bf-
[l (a+by]{l+ a + b) а + 2Ь 2а+ Ь
ab4 аЧ
Ь*+ С* I 1
/1___1 \ сР + с* ( 1___1\
Г 3 + W
з + ** у *л+* + з*2
6jc2« — 24 2*
X — 1 1 — Зх + х* 1
Здг + (х— I)2 X*-
1—2х + х"- — 2х*
1 + 2х + х? + 2х* 41*__+ ЬП
• /Л U\ (г,_ п\ I
42.
где я — целое положительное число.
д2__і__^J*__і
(ах + A2) "1^ (A1 + а2) (аг + + ^з)
п
... +¦
43. Найти сумму я дробей
2л: — а 4*з — 2а~л: 8x7 — 4а4л-з
X2 — ах + а2 ' л"4 — а2л:2 + а4 ' х8 — а4л4 + а^ '
9 Л ort — 1 ort —1 , ort
л:"1 — а^ лг + а^
44. Упростить произведение
45. Упростить произведение
(а2 — ах + х2)(а4 — а2*2 + *4) ... (я2* _ а^х^'1+ х2").
§ 2. Условные тождества
1. Вычислить
у — z ' г — X ' л- — у
если л: + ^y --)-2: = 0. 2. Доказать, что
+ Щ + /?гз - ЩЩЩ,
где
а + 6 с + о" ас — bd
1 а — Ь 1 c — d 6 ad -f- be
§ 2. УСЛОВНЫЕ ТОЖДЕСТВА
3. Доказать, что если
а* + Р = (а + Ь — с)\
то
а1 -\- (а — с)2 _ а — с
Ь> _|_ С)2 — ь — с '
4. Доказать, что если ?0x4 + ^1X3 + а0х\ + ^x1 + аА = 0, 4a0x3 + 3atx2+ + 2O2X1-J-O3=^=O, 120^ + 60^ + 202=^0 и х2, х3, X4-три других корня уравнения a0x4 + ?1x3 + a2x2 + ?3x + ?4™ 0,
то
I1I1I
X1 — X2 X1 — Х% Х\ — х±
б. Доказать, что если
0.
то
?+Z + ?=1> JL + A + -I = O.
а 1 6 1 с х х у х z
Xі V2 Z2
6. Доказать, что если
х2 —- уг _ у2 — хг
х(1— уz) у {X-XZ)
где
д: ф у, X ф 0, у ф 0, 2: 0, yz ф 1, Xу ф 1,
то
* + у+ 2 =--\-----.
1 J 1 X 1 у 1 Z * ; іг-
7. Дана функция
V — OX-4- Ь.
Пусть X1, х2, X3 — произвольные (и попарно различные) значения х, a ^1, у2, у3 — соответствующие значения у. Доказать, что
У2 — У\ _ х2--хэ
>'3 — У 2 X3 — X2
8. Дана функция
_ ах + Ь
У ~~ сх + d 9
причем ad — ЬсфО. Пусть X1, х2, х3, X4 — произвольные (и попарно различные) значения х, a ylt у2, уг, у± — соответствующие значения у. Доказать, что тогда
Уъ — Ух. У а — У і _ х2 — x1 . X4- X1 н
З'з — У2' Уз~"X3-X2 ' X3-X4
9. Дано: афЬ, Ъ ф с, с Ф а и
а +——Ь-А—о.
1 ^ - П I /7 - /}
b — с 1 с — а 1 я — b
Доказать, что тогда
a . b
(b — cyi 1 (с — af 1 (a —by*
