Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
35. (ft — с) (ft 4- с)2 4- (с — а) (с 4- а)2 4- (а — ft) (а 4- ^)2.
36. a2 (ft 4- с — 2а) 4-ft2 (с -+-а — 2ft) 4- с2 (а 4- ft — 2с) +
4- 2 (с2 — а2) (с — ft) 4- 2 (а2 — ft2) (а — с) + 2 (ft2 — с2) (ft — а).
37. (^ 4-^ _ а)(с 4-а _ ?) (о 4-& _ с)4_ а (а _й 4-с) (а 4-й — с)4-
4- ft (а 4- ft — с)(— a + ft + c) + c(— a + ft + c)(a — ft + c).
38. a (ft 4- с — af + ft (с + а — ft)2 4- с (а + ft — cf +
4- (ft 4- с — а) (с 4- а — ft) (a + ft — с).
39. a (ft — с)3 4- ft (с — а)з 4- с (а — bf.
40. X (у+ Z) (у2 -z2) + y(z-\- X) (z2 — X2) 4- z (х 4- j,) (х2 — у2).
41. (ft — с) (ft 4- с)3 4- (с — а) (с + а)3 4- (а — ft) (а + ^)3-
42. (X+3,4-^-(^4-*)4-(Z^
43. (a + b + cf — (b + c — af — (c-+-a — bf — (a + b — cf.
44. (j/ — *)5 4- (z — xf + (X — yf.
45. (л: 4- у 4- г)5 — л:5 — у — г5.
46. (a + ft 4- cf — (ft + с — а)5 — (с + а — ft)5 — (a + ft — cf.
47. (ft — с) (ft + с)4 4- (с — а) (с 4- а)4 + (а — ft) (a + ft)4.
48. a4 (ft — с) 4- ft4 (с — а) + с4 (а — ft).
49. а2 (а +- (а + с) _ с) 4- + с) -f- a) — ?) 4-
+ c2(c + a)(c + ft) (a —ft).
50. X3 (у — г) 4- у* (z — х) 4- -г3 (х —j/).
51. a2 (ft — с) (с 4- а — ft) (a + ft — с) + ft2 (с — a) (a + ft — с) (ft + с — а) +
+ с2 (а — b)(b + с — а)(с 4- а — ft).
52. a3 (ft — с) (с — d) (d — b) — ft3 (с — d)(d — а) (а — с) + 4- с3 (d — a) (a — b)(b — d) — d3 (а — ft) (ft — с) (с — а).
53. (ft + с — а — df (b — с)(а — d) + (c ~\-а — b — df (с — a)(ft — d) +
+ (a + b — с — df (а — b)(c — d).
54. 2 (а3 4- ft3 + с3) + a2ft + а2с + ft2c + ft2a + с2а + c2ft — 3aftc.
16 Алгебра. Гл. I. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МНОГОЧЛЕНОВ
55. а) х2п — 1;
б) Jt2"+ 1;
в) Jt2" + 1— 1;
г) Jt2" + 1-+- 1,
где п — целое положительное число. Произвести также разложение на множители 1-й и 2-й степени с действительными коэффициентами (множители второй степени с мнимыми корнями).
66. X10+X5+ 1.
8 6* Разные задачи на многочлены
1. Разложить на линейные множители (т. е. на множители 1-й степени) относительно a, b, с, d выражение
(ab + cd) (а2 — Ь2 + с2 — d2) + (ас + bd) (а2 + Ь2 — с2 — d2).
2. Представить произведение
{a2+\)(b2+\)(c2-r~\)
в виде суммы трех квадратов рациональных функций от а, Ьу с.
3. Доказать, что
(X — 1) (X — 3) (X — 4) (X — б) + 10 > О
при всех действительных значениях X.
4. Дано:
U-J-O-J-C = O, a2 + b2 + c2 = 1.
Вычислить
5. Доказать, что в произведении
(1 — je -f- — -f- ... — jc" +- л:1»0) (1 -f- л: -J- д;2 -J- дгз _|_ _ _|_х9Э + хюо)
после раскрытия скобок и приведения подобных членов не останется х в нечетных степенях. 6**. Доказать, что
хт — \ хт~\ — 1 хт-2—\ хт-р±\_\
Jt-I х2—\ ' х* — 1 " ' J^-I
есть целая рациональная функция от х\ т и р — целые положительные числа, причем т^>р. 7**. Доказать тождества:
а) хп-С\(х- \f + c\(x-2)n- ... +(-IyCS(JC -п)п = п\;
б) хр -C)1(X - \ f + Cl(X - 2)р - ... +(-\)пСпп(х-п)р = 0,
где п и /? — целые положительные числа и р < п.
8. Определить значения а п Ь, при которых
jt*+(а+ 6) X3 + (а — Jc2 + (a2 + 2b— \)х + а + Ь + 4
делится на (х—I)2. Чему будет равно частное?
9. Доказать, что произведение
ху(Зх + 2)(5у + 2)
есть разность квадратов двух многочленов относительно х и у с целыми коэффициентами.
§ 6. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ НА МНОГОЧЛЕНЫ
17
10. Найти сумму коэффициентов многочлена, получающуюся после раскрытия скобок и приведения подобных членов, в выражении
(1 — Зх + 2х2)743 (1 + Зх — 2х2)744.
11. Пусть Fn(x) = xk —С\(х + \f + Cl(X+ 2)k — Съп(х + 3)"+ ... ... +(-If*1 СГ1 (х+п-1)* + (-1)" (X + п)\
Доказать, что
F п{х+\) +Fn+l{x) = Fa(x).
12. Доказать, что если от деления целой рациональной функции Р(х) на х — а в частном получается многочлен Q(x), а в остатке R, то
S(Q)(I-O) = S(P)-R9
где S(Q) — сумма коэффициентов многочлена Q(x), a S(P)—сумма коэффициентов многочлена Р(х). 13**. Найти необходимое и достаточное условие, при котором
ах2 + by2 + cz2 + 2/уг + 2^x + 2/гх.у
было бы квадратом линейной однородной функции относительно х, у н г. 14*. Доказать, что если
(а — X) X2 + (b — X) у2 + (с — X) z2 + 2 + 2#гх + 2/гх^
есть квадрат линейной однородной функции относительно х, ^;, 2, то
\f = af — gh, Ig = bg — hf, Ih = с/г — fg.
15. Найти коэффициенты при хп и х"~2 в произведении
(1-H1X + с2х2+- ... +сахп)(хп+сххп-1 + ... +^-i.V+^).
Глава II АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ
§ 1. Тождественные преобразования алгебраических дробей
Упростить следующие выражения:
х Л—
2.
4.
7.
8.
9. JO. 11. 12.
,+1-1
X
¦ 1
X+ 1
л:+ 1
1 — X . 1 + x
1 — * + X2 ^ 1+х + х2 \ + х
I +X +X2 1 — X + X*
1+Х
1 +
1 +
1 — Zx
1— Зл:
^ 1 -- Зл: 1-3-1+Х
1 — Зх
x* — (x—iy- . (л-2_ 1)? ^2Q;—1)3—1
+ 1)2 — X2 *"г (л: + I)5 — 1 *+" ~ x± — (х + 1)?
1 + ах \ -\~ Ьх
і і (* — A-) (•* — &)~ '
г *1 _ 9 , \ *4:У4 У X
