Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
(х + у)п — хп — уп
делится на x2-)- ху+~у2, а при n = 6k-\- I, где k — целое положительное число >-1, делится на (х2-+ ху -\- у2)2.
15. Доказать, что
делится на
x4+x3 + x2 + x-f 1.
16. Доказать, что
u4 ф2 + С2 _ а2}3 _|_ ?4 (С2 _j-a2 — ft2)3 + С4 (Л2 + ft2 — С2)*
делится на
а4 Jn Ъь _|_ С4 _ 2^2С2 _ 2(;2а2 — 2o2ft2.
17. Доказать, что
(Х-+-у-{- Zf п (у __[_ zf п _ (2г 4- Х)2« _ Cx -]_ д,)2л _^ Х2п у>я ^
где м — целое положительное число, делится на
(x + y + zf-(y + zf-(z + xf-(x +yf-+x* + y* + z*.
18. Пусть P(X1 у)—симметрический многочлен относительно x и у и пусть он делится на х — у. Доказать, что тогда он делится и на (х — у)2.
§ 4. ДЕЛИМОСТЬ МНОГОЧЛЕНОВ
13
19. Доказать, что следующие многочлены:
а) х2п— пхп + 1 + пхп-1 — I;
б) x2nil — (2n + \)хп^ + (2а+\)хп — 1;
в) (я — 2т) хп — пхп - т + пхт — [п — 2т),
где п и т —- целые положительные числа, делятся ка (х—I)3.
20. Доказать, что многочлен
хгп + г _ n(n + l)(2n+l) + (/2-1)(/2 + 2) (2/2 + 1) ^11 + 1 _
(/2-1)(/2 + 2) (2/2+1) /2(/2+1)(2/2+1)
2 Х ~1 6 Х ~~ 1
делится на (х—I)5 и не делится на (х—I)6.
21. Доказать, что необходимым и достаточным условием делимости многочлена
f(x) = aQxn + a1xn~1 + ... + ап на (х — 1)* является соблюдение следующих условий:
ап + ап-і + ап-г+ ••• +#0 = 0, ап_1 + 2ап_2 + ... + /ш0 = 0, 1 . 2а„_2-+2 - San^3 + . . . + п(п — 1)а0 = 0,
22. Доказать, что многочлен
не имеет кратных корней.
23. Доказать, что х'^+ х3<7 + 1 -+ л'3/"+2 делится на х2-+х-+1, где /?, а, г — целые положительные числа.
24. При каком условии х2п-{-хп-\-\ делится на
X2+ X-j- 1,
где я — целое положительное число.
2?. При каком условии (х-\-\)п — хп— 1 делится на х2 + х + 1, где п — целое положительное число.
28. При каком условии (х + 1 )п + хл -+ 1 делится на х2-+х-+1, где п — целое положительное число.
27. При каком условии (х+\)п— хп—1 делится на (х2 + х + I)2. где я — целое положительное число.
28. При каком условии (х +\)п + хп + 1 делится на (х2 + х ¦+- I)2, где п — целое положительное число.
29. Доказать, что (х+ \)п—хп—1 ни при каком целом положительном я не делится на (х2 + х + I)3.
ЗЭ. Доказать, что если
U0Xn-T-U1X«-1+ ... + ап
делится на X — 1, то
a0xkn +Ci1X^"-1) + ... + ап
делится на xk— 1. 31. Доказать, что многочлен
х3п + (х2 + х+ 1)(1—хп)хп'1 — 1
делится на
x6 — x5 — А 4 -+ X2+ X-U
где п — целое положительное число.
14 Алгебра. Гл. I. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МНОГОЧЛЕНОВ
32. Доказать, что многочлен делится на
хр-і+хр-2 + хр-з+. _ +*-{-1. где р, а, Ь, с...../ — целые положительные числа.
§ 5. Разложение на множители
Разложить на линейные множители относительно х, т. е. на множители первой степени относительно Xy следующие выражения:
1. (*2 + *)2 + 4 (x2х) — 12.
2. (х24-х4- 1)(х24-х4-2)— 12.
3. (х2 4- 4х 4- 8)2 4- Зх (х2 -f 4х 4- 8) 4- 2х2.
4. (x2 4- x 4- 4)2 4- 8х (x2 4- x 4- 4) 4- 15х2.
б. 2(х24-бх4-1)24-5(х2 4-6x4-i)(x24-1)4-2(x24- I)2
6. (x 4- 1) (х 4- 2) (x 4- 3) (х 4- 4) — 24.
7. (х 4- 1)(а: 4-3) (x 4-5) (x 4-7) 4-15.
8. 4 (x 4-5) (x 4- 6) (x 4- 10) (x 4- 12) — Зх2.
9. х34-9х24-11х —21.
10. x3 — бх2 — x 4-30.
11. 8х3 — 36х24-54х — 27.
12. х44-2х3— 1бх2 —2x4- 15.
13. 2х4 — x3 — 9х2 4- 1 Зх — 5.
14. x4 —2Ox3 4- 15Ox2 —500x4-625. 16. x3 4-9х2 4-23x4- 15.
16. x3 —x2 —21x4-45.
17. 9х3 — 15х2 —32х— 12.
18. 2х4 + 7х3 — 2х2 — 13x4-6.
19. x4 —2х3— Их24- 12x4- 36.
20**. При каком необходимом и достаточном условии выражение Лх2 4- 2Bx у 4- Cy2 4- 2Dx 4- 2Ey Л- F
второй степени относительно x и у разлагается в произведение двух линейных множителей относительно x и у?
21. При каком необходимом и достаточном условии выражение
Ax2 4- 2Bxу 4- Cy2 f 2DXZ 4~ 2Eyz 4- Fz2
разлагается в произведение двух линейных и однородных множителей относительно x, у и Z.
В следующих примерах следует разложить данные выражения, зависящие от двух и трех аргументов, в произведение множителей первой и второй степени относительно аргументов. Множители второй степени относительно аргументов должны быть лишь такими, дальнейшее разложение которых на множители первой степени уже невозможно (см. выше задачи 20 и 21).
22. (14- *2) У2 + 2 (X - у) (1 4- Xу) 4- 1.
23. (1 4-а2 4-Ь2 — 2а)2 — (Ab — 4ab)(\ ~\-а2 — Ь2— 2а).
§ 5. РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ
15
24. (а + Ь + cf — а3 — ft3 — с3.
25. а3-\-Ь3-\-с3 — ЪаЬс.
26. 2ft2c2 + 2с2а2 + 2a2ft2 — о4 — ft4 — с4.
27. X (у2 — z2) + y (z2 — x2) + z (X2 — у2).
28. (y + z)(z + x)(x + y) + xyz.
29. лг_у2 (л:3 + У + z3) — .у3.?3 — 2?3 — х3у3.
30. a3(b + c) + b3(c + a) + c3(a + b) + abc(a + b-+-c).
31. a2(b + cf+-b2(c+-af^c2(a+-bf + abc(a + b + c)-+
+ (а2 + b2 -f- с2) (ftc + са + aft).
32. х4 (у2 — г2) 4- у (z2 — X2) 4- г4 (х2 — >-2).
33. О, — zf + (Z- xf 4- (х — yf.
34. (ft — с)(a — b4-с){а4-ft — — я)(я + ^ — с){— а+ ft+ с) +
4- {a — ft) (— a+ ft+ с) (a —ft 4-с).
