Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
3. Найти сумму п дробей, числители которых образуют арифметическую прогрессию с первым членом а и разностью of, а знаменатели — геометрическую прогрессию с первым членом Ь и знаменателем q.
4. Определить стороны треугольника, если они выражаются целыми числами, образующими арифметическую прогрессию, причем периметр треугольника равен 13.
5. Определить стороны треугольника, если они выражаются целыми числами, образующими геометрическую прогрессию, причем произведение этих чисел равно 216.
6. Сумма членов геометрической прогресии без первого члена равна бЗ-уї сумма
членов без последнего равна 127; сумма членов без двух первых и двух последних равна 30. Найти прогрессию.
7. Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 8, то прогрессия станет арифметической. Но если после этого увеличить последнее число на 64, то прогрессия снова сделается геометрической. Найти эти числа.
8. Найти отношения сторон треугольника, зная, что один из его углов равен 120° и что стороны его образуют арифметическую прогрессию.
9. Стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию, разность которой равна 2 см. Площадь треугольника равна 6 см2. Определить стороны.
10*. Доказать, что если а > 0, #>0 и с>0 соответственно m-Pt, n-Pt и /?-й члены одновременно как арифметической, так и геометрической прогрессии, то
Ь сис~а а-Ъ Л а О С =1.
11. Доказать, что если а — первый член арифметической прогрессии, а сумма р
п ciq (р 4- а) первых членов равна 0, то сумма следующих q членов равна--^ __ ^ - .
12. Доказать, что если sn, S2n и S3n — суммы п, 2п и Zn членов арифметической прогрессии, начиная с первого, то
sSn — 3 (s2n —Sn)-
13. Доказать, что если sm, Sn и sm+n — суммы т, п и т-\-п первых членов арифметической прогрессии, то
sm — Sn _т — п
sm+n т + п'
§ 1. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ 117
14. Даны две арифметические прогрессии: одна возрастающая, другая убывающая, у которых один и тот же первый член а и разность Ь. Пусть S1 и S2 суммы п первых членов этих прогрессий. Найти
s\ — ^2
Si + S2 в
15. Доказать, что если удвоенная сумма т первых членов арифметической прогрессии равна сумме т-\-п первых ее членов, а эта последняя сумма равна сумме т + р первых членов, то
16. Даны две прогрессии:
а, а + Ь, а + 2Ь, а + ЗЬ,. ..
и
с, c+d, с+ 2d, с+ 3d,...
Выразить сумму
ac + (a + b)(c + d) + (a + 2b)(c + 2d) + ... +
+ [a + (n—\)b] [c + (a-\)d]
через суммы S1 и S2 п членов данных прогрессий и их разности b и d. 17.* При каком соотношении между а и b сумма всех парных произведений членов прогрессии
a, a — b, a — 2b.....а — (Зп2—2)Ь
обращается в нуль?
18. Доказать, что если члены ар, aq, аг и as арифметической прогрессии составляют геометрическую прогрессию, то р — q, q — г и г — 5 будут последовательными членами геометрической прогрессии.
19. Доказать, что если sn, s2n, и S3n суммы п, 2п и Зп первых членов геометрической прогрессии, то
Sn (SSn S2n) — (S2n Sn)2-
20. Пусть q—знаменатель геометрической прогрессии, Sn — сумма п первых ее членов, a sn_l — сумма п—1 первых ее членов. Найти сумму всех парных произведений п первых членов.
21**. Доказать, что условие
(ch + al+ ... +a2n-t)(al + al+ ... + 4) =
= (?? + ??+ ••• +ял-Аі)2. где av а2, ап — действительные числа, является необходимым и достаточным для того, чтобы эти числа составляли геометрическую прогрессию. .22. Пусть S1, s2, S3 — суммы соответственно U1, Tt2 и п3 первых членов некоторой арифметической прогрессии. Показать, что
~ (п2 — п3) + ^-(п3 — nJ + ^Qi, — /I2J = O.
Щ "2 пЪ
23. В геометрической прогрессии, все члены которой положительны, даны
ат + п = ат-п — В>
найти ат и ап.
24. Длины сторон треугольника образуют геометрическую прогрессию. В каких границах может меняться знаменатель этой прогрессии?
25. Знаменатель геометрической прогрессии равен * ' ^оказать» чго каждый член (начиная со второго) этой прогрессии равен разности двух соседних с ним..
118
Алгебра. Гл. IX. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
26. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 12, а сумма квадратов ее членов равна 48. Найти сумму первых десяти членов этой прогрессии.
27. Найти четыре числа, из которых первые три составляют геометрическую прогрессию, а последние три — арифметическую: сумма крайних чисел равна 14, а Сумма средних равна 12.
28. Три числа, сумма которых равна 60, составляют арифметическую прогрессию; если к этим числам прибавить соответственно ~, 4 и 7, то новые
числа будут составлять геометрическую прогрессию. Найти эти числа. 29*. Найти четыре действительных числа, составляющих геометрическую прогрессию, зная, что сумма их равна 130, а сумма их квадратов равна 5044.
30. Доказать, что если числа аг, а2, а3, . . ., Gn образуют арифметическую прогрессию, то
_1_+_1_ + _L_+ ... __L_ = .^zi.
{I1Ci2 а2а3 а%а4 1 ап-\ап Ci1Cin
