Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
2°. в полуинтервале (—1, 0] убывает;
3°. в полуинтервале [0, 1) возрастает;
4°. в интервале (—1, 1) выпукла вниз;
5°. в интервале (1, -(-оо) возрастает и выпукла вверх.
24. Исследовать на возрастание, убывание и на выпуклость следующие функции: 1°. у = УТ; Т. у = У~х; 3°. у =-4=
25. Доказать, что если а > 0, то функция
у — ах3 -f- Ъх2 -\-cx-\-d
обладает следующими свойствами:
1°. если b2 — 3?c<^0, то она возрастает; 2°. если Ь2 — Ъас > 0, то
а) в полуинтервале
возрастает;
б) на сегменте
Г__b__1 ЛГ Ь2 — 'даГ__b__, 1 ГЖ—Zac Л
L За З V а2 ' За З V a2 J
убывает;
в) в полуинтервале
г b , 1 Ь2 — Зас . \
I-35"+з К —Ж- > +°°)
возрастает;
3°. в полуинтервале ^ — оо, — ^-J выпукла вверх; 4°. в полуинтервале ? — +-сю^ выпукла вниз. При а < 0 все заключения будут обратными.
8 П. С. Моденов
114 Алгебра. Гл. VIII. ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
26. Доказать, что функция
у= X -\~S№ X
возрастающая.
27, Доказать, что функция
у = (х—\)Цх + 1)*
1°. в полуинтервале ^ — со, возрастает;
2°. на сегменте lj убывает; 3°. в полуинтервале [1, -f-oo) возрастает. 28.** Найти наибольшее и наименьшее значение функции
_ 12х(х — а) У — х* + 36 '
где а — данное действительное число, не равное нулю. При каком целом значении а эти наибольшие и наименьшие значения будут целыми числами? При каких значениях х функция у принимает эти наибольшие значения (в общем случае и в частном, при которых наибольшее и наименьшее значения— целые числа)? 29, Найти область определения функции
у = Y1 — X + Yl~rx;
исследовать при помощи подстановки х = cos t, где 0 ^ t ^ тс *— промежутки возрастания и убывания, наибольшие и наименьшие значения.
§ 3. Наибольшие и наименьшие значения
1. Из всех прямоугольников данного периметра найти тот, который имеет наибольшую площадь.
2. Найти высоту конуса максимального объема, который можно вписать в шар данного радиуса г.
3. В круг радиуса г вписать прямоугольник с наибольшей площадью.
4. В круг радиуса г вписать прямоугольник, периметр которого был бы наибольшим.
6. Из всех круговых секторов, имеющих данный периметр, найти тот, который имел бы наибольшую площадь.
6*. Показать, что из всех треугольников, вписанных в окружность наибольший периметр имеет равносторонний треугольник.
7. Из всех прямых круговых цилиндров, которые можно вписать в данный прямой круговой конус, найти тот:
а) объем которого был бы наибольший;
б) боковая поверхность которого была бы наибольшей.
8. В данный шар вписать конус, имеющий:
а) наибольшую боковую поверхность;
б**) наибольшую полную поверхность. 9*. Конус описан около шара. Показать, что объем конуса превосходит объем шара не менее чем в два раза. Для какого конуса отношение его объема к объему шара будет наименьшим?
10. Найти размеры конической палатки данной вместимости, требующей наименьшего количества материи.
11. Нужно огородить проволокой, длиной 200 м, земельную площадь в виде прямоугольника, примыкающего к стене. Найти размеры прямоугольника, при которых площадь будет наибольшей.
12. Требуется изготовить сосуд без крышки в форме прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием емкостью 32 л. Каковы должны быть
§ 4. НАИБОЛЬШИЕ И НАИМЕНЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ
115
размеры сосуда, чтобы на его изготовление пошло возможно меньше материала ?
13. Из прямоугольного листа с размерами а и b требуется изготовить коробку наибольшей емкости, вырезав по углам четыре равных квадрата и загнув получившиеся выступы. Найти величину сторон вырезаемых квадратов. Рассмотреть случай а = Ь.
14. Из круглого листа радиуса г вырезан сектор с центральным углом ср. Из этого сектора сделана коническая воронка. При каком ср емкость воронки будет наибольшей?
15*. Из трех досок одинаковой ширины сколачивается желоб. При каком угле наклона боковых стенок к основанию площадь поперечного сечения желоба будет наибольшей?
16**. От канала шириной а, под прямым углом к нему, отходит канал шириной Ь. Оба канала прямолинейны. Найти наибольшую длину бревна, которое при сплаве из одного канала в другой не застрянет на повороте.
17**. На отрезке длиной /, соединяющем два источника света силой Ix и I2, найти наименее освещенную точку (освещенность обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света).
18. На какой высоте над центром круглого стола радиуса г нужно подвесить лампу, чтобы книга, лежащая на краю стола, была бы сильнее всего освещена (освещенность обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света и прямо пропорциональна косинусу угла падения луча на освещаемый предмет)?
Глава IX
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ § 1. Арифметическая и геометрическая прогрессии
1. Сумма четырех составляющих арифметическую прогрессию равна 1; сумма кубов этих же чисел равна 0,1. Найти эти числа.
2. Найти числа, составляющие арифметическую прогрессию, зная, что сумма первых четырех членов равна 68, сумма последних четырех членов равна —36, а сумма всех членов равна 68.
