Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
/1000 У
X
33. j/y = x, У3 = X2.
34. 103-^(^) = 250,
26-
у X — у + -2 У X + у =
35. a?*"?" = .У. yVJ = х*-
36. х>' = ух=\.
37. 7 (lgy* +Igx JO = 50, xj; = 256. 38**. V х2 + 5хф-2у — 3+Vx2+ X+-3;+-2 =
= ^^2 + 4^ + 3^-2 + +^7+3, х*-у = 2;;
§ 4. РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ
109
39. lg20 X + Ig* у = 7. Ig10 X — Ig10 у =2.
э 10 і ью-
4 8 4 2
40в хУх+уУ =у'г, уУх+уУ =хг •
41. ^4-243. i/"TO24 = (-Jjc)2.
§ 4. Решение неравенств, содержащих показательную и логарифмическую
функции
Решить следующие неравенства: 1. Ig0* > 6IgxA-1, где0<я<1.
2*. Ig« (5-*) >3. где а>1.
3 1 > 1
2-*—1 ^ 1 — 2-»¦-I *
4- TaJTT+I-Ig10Jf> L
б. 2\gxa4r\gaxa4r3\ga,xa>0, гдео>1.
6. Jgx (* + 2) > 2.
7. Ig8(Jt« —4*-Ь3)<1. 8**. lgx+p2<lg^4, 0</><1.
Глава VIII ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
§ 1. Область определения
Найти область определения следующих элементарных функций:
1. у = — 1) (X — 2) (X — 3)(х — 4) (X — 5).
2. у = — |4х3— 6*+ 1|.
3. j> = —.
4. у = Ух + У=х,
6. j; = 2x2 + 3jc + 5.
7. у=г:|/Г^.
8. y = ig C*-2K*-3)w
9. j; = |А fr- 2)(*-3)
10. ^ = Ig [х(х — 3)(* + 5)].
11. у = lg(x2 + 2л:).
12. 3/ = 2-.
13. j/ = Ig10(^2 — Зх + 7).
14. J^ = IgTi0 IgTiO-^-
§ 2. Возрастание, убывание, выпуклость вверх и вниз
1. Доказать, что функция
_ X
У~ X*+ I
возрастет на сегменте [—1, 1]. Указание. Пусть
— 1 O1 < л:2< 1.
Надо доказать, что
xi ^ X2_
1 + х\ 1+X2*
2. Доказать, что та же фуькция
§ 2. ВОЗРАСТАНИЕ, УБЫВАНИЕ, ВЫПУКЛОСТЬ ВВЕРХ И ВНИЗ 111
на полуинтервале (— оо, —1] убывает, т. е. если
xi < х2 < — 1 >
то
х\ ^ х2 1+X1 1+Хз
3. Доказать, что функция у = х3— бх на сегменте [—У 2, У 2] убывает,
4. Доказать, что функция
, 1
У = х + ^
а) возрастает в интервале (-—со, 0), т. е. если
Х1 < х2< 0.
то
,1 , 1
X1-) - < X2-J ,
X1 х:2
б) убывает на полуинтервале (О, У 2], т. е. если
0<xt<x2<f 2,
то
, 1 . , 1
X1 -| — х2 \ Y9
X1 X^
в) возрастает на полуинтервале []/^2, -f-oo). б. Доказать, что наибольшее значение функции
X
равно , а наименьшее —~. При каких значениях х функция принимает
значение j? При каких значениях х эта функция принимает значение —у?
6. Доказать, что если х>0, то
причем знак равенства имеет место только при х = ^2. Иначе говоря, на интервале (0, оо) функция
, 1
У = х + -&
принимает наименьшее значение, равное ^-"^2.
7. Доказать, что функция
у = ]/x2 + x + T + V^ITT+T
имеет наименьшее значение, равное 2, при х = 0.
8. Доказать, что функция
" X
а) на полуинтервале (— оо, —У"з] выпукла вверх;
б) на сегменте [ — ]/"з, 0] выпукла вниз;
в) на сегменте [ 0, V^3] выпукла вверх;
г) на полуинтервале []/"з,-f-оо) выпукла вниз.
112 Алгебра. Гл. VIII. ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
9. Доказать, что функция
. 1
а) на интервале (— со, 0) выпукла вниз;
б) на интервале (0, +со) выпукла вниз. 10, Доказать, что функция
у — Xs + ах2 + Ьх + с
а) на полуинтервале —со, ——J выпукла вверх;
б) на полуинтервале ?—~, + coj выпукла вниз (каковы бы ни были
числа b и с).
11. Доказать, что функция
у = Va2 — X2
на сегменте [—а, а] выпукла вверх.
12. Доказать, что функция
у = Xs + рх + q возрастающая, если р > 0. Если же р<0, то:
а) на полуинтервале ^—со, —j/~ — -—J она возрастает:
б) на сегменте ? — |/~—^, ]/ —~J убывает;
в) на полусегменте —-^-, +оо^) возрастает.
13. Исследовать на возрастание и убывание функции:
1) у = X2; 2) у = хК
14. Исследовать на возрастание и убывание функцию
1
15. Исследовать на возрастание и убывание функцию
у— ах2 -{-Ьх + с.
16. Воспользовавшись результатом задачи № 12, исследовать на возрастание и убывание функцию
у =—cosx • sin2*.
17. Доказать, что функция
1
У-
1 + х2
а) на полуинтервале ^— со,---jTt] выпУкла вниз»
б) на сегменте ?--—^-, j выпукла вверх;
в) на полуинтервале Г -> +°°^ выпукла вниз.
18. Исследовать на выпуклость вверх и вниз функции: 1°. у = х2\ 2°. у = хъ\
3°. у=1-.
§ 2. ВОЗРАСТАНИЕ, УБЫВАНИЕ, ВЫПУКЛОСТЬ ВВЕРХ И ВНИЗ
113
19. Доказать, что если а > 0, то функция
у = ах2 -(- Ъх -(- с
выпукла вниз, а если я<0,-то выпукла вверх,
20. Доказать, что если функция y = f(x) на сегменте [а, о] выпукла вверх, то тем же свойством обладает и функция
?(*) = /(*) 4-а*-И,
где а и ?— произвольные числа.
21. Функции f (х) и ср (х) выпуклы вверх на сегменте [а, Ь\. Что можно сказать о выпуклости вверх или вниз следующих функций:
1°. /(*)+?(*);
2°. f (X)-V(X);
3е. kf(x)(k — число).
22**. Доказать, что функция y — igx на полуинтервале ^ — ~у oj выпукла
вверх, а на полуинтервале |о, —^j выпукла вниз.
23. Доказать, что функция
1
1°. в интервале (— оо, —1) убывает и выпукла вверх;
