Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
8. Доказать, что если «=lg1218, ? = lg2454» то
Gt? = 5 (ОС-P) = 1 -
9. Найти Ig64 168, если Ig7 12 = а и Ig12 24 = Ь.
10. Дано Ig30 3 = a, Ig30 5 = Ь. Найти lg308.
11. Найти Ig920, зная, что Ig10 2 = a, Ig10 3 = Ь.
§"2. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 105
12. Доказать, что \gba\gab=l, где а >0, Ъ >0, o 1, & 1.
13. Пусть а — положительное число, не равное 1. Положим:
Доказать, что:
а) с2—<?2^ 1;
б) 5 (2х) = 25 (х) с (л*);
в) с (2л;) = 2с2 (х) — 1 = 2s2 (х) + 1 = с2 (*) + <?2 (*); г)/(2х) = т^;
д) с> 1;
е) s(x + y) = s(x)c(y)-\-s(y)c(x);
ж) с (X + У) = с (х) с (у) + S (х) s (у);
з) с (—х) = с(х);
и) s (— х) = — s (х); к) t(—х) = — t(x);
л) c(x — y) = c(x)c(y) — s(x)s(y);
м)** Найти функции, обратные для s(x), с(х) и t (х).
§ 2. Логарифмические и показательные уравнения с одним неизвестным
Решить следующие уравнения:
1. Ige»* + lg*o= 1, o>0, а Ф\.
2. lge* lg* * = lg«*- o>°> b>®> 0^1'
3. ^ Xу* = V~xx.
4. <*i«*=100x.
5. У X1S^=: 10.
(!ГУ S-і-
lg (2*) _0
'* lg(4x-15) — Z>
8*. 1+1^(2Ig10A-X) Igx * = ]g|j. e>°- *>°-
9. (l+lgc?) lffeJflgec = lgjXlgcxlgac, a>0, *>0,
с >0, 6 1. с Ф 1.
10*. !+^^-(lgiolgio"-!)^^
И. VkaV'^+\gJVa~x'+^/'\gaYT + ]Z*VT = a' ?>0' a*X'
12. * 5^-^ + 5-^ = 250.
13. lg, 5 Vb -J = (lg, /5)2.
14. 1/"IgxVaJ-IgS* = — !. 15.' (0,4)^^ = (6,25)2-^''.
106 Алгебра. Гл. VIb ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
р—Цф 1.
17. KV, 5 Vb + \gv- 5/5- 1gyr х = - /б.
18. ^2^2 = ^2.
19. 'g(35-^)=3.
Ig (5 — X)
20. lg/l 4-x + 31g|/"l — X = Ig]Zl-Xі-f-2.
21. Igx (5*2) (Ig5 Jf)2 =1.
22. 201g„/i7 + 71geU*8 = 31g * *2, a>0, fl^l.
23. /] \ig3Vjt+i—
Ш =/2(*-1).
24. (K" 2-/3)4(^2 + /3)^ = 4.
25. x1-1^* = 0,01.
26. X1W(^-1) = 5.
X?-SX--% , r-
27. 2 a = 16V2.
28. lg10(3 + 21g10(l+x)l = 0.
29. !0^(^-3^+5) == 3Ig0W1 e > 0j a ф L
30. ^(?»*)*-!?«* =і/ІсГ
31. 9^-2^=2^-32-*-1.
32. Ig10 2 + Ig10 (4*-2 + 9) = 1 + Ig10 (2*-2 + 1).
33. 2lgs <*2-6*+9) = 32 'gjf KJ-i-
34. lga/r+7+ 3Ig0=(I -x) = lga.(1-х2)2 + 2, a>0. аф\.
35. X1^ = A0V'1. fl>0, аф\.
36. aXs^ = xlg* <л°"-*>, а > 0, в =?1.
37. 15?1? (9^)+1 = 1.
38. Ig10(5 — X)+ 2 Ig10/3 — х = 0.
39. Og5*)2 + ^-lg7x = 2.
40. IgxIO-HgJeIO = O.
.2*+3_З-*2-2 = З*2+1_2Х~1.
42. Ig10 (Зх — 11) + Ig10 (X — 27) - 3.
43 Х+Іг—
5* У 8х =100.
44. 5* + 5х f 1 + 5-v+2 = З* + 3*+1 + З*+2.
46. + = л* > 0, a b.
§ 3. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 107
ал tg 2+18(4-5*-6*«) _р
48. 3* • 4х = Ъх.
4Э. Ig (152+-X3) —3 Ig (х +-2) = 0.
1 2
61. у^щ*+(ут+щх=
62. 21^0+-1^0+-31^0 = 0, а>0, аф\.
53. Ig^lO +-2 Ig10x 10 ArZIg100x 10 = 0.
54. Ig2x(^)IgIx +-IgU=L
бб. 4* — 3Х 2 = 3*+ 2 — 22*-1.
66. Ig4 (x + 12)\gx 2=1.
57. Ig і/блг — 4+Ig]A*; +1 = 2-fig O118.
68. 2х + 2*-1+ 2х"2 = 7х + 7*"1 + 7х-2.
69. Сколько корней имеет уравнение
2* = х + 3.
Вычислить их (без таблиц) с точностью до 0,1.
60. Найти все значения k, при которых уравнение
ig (kx) = 2 Ig (X +1)
имеет только один корень.
61. Сколько корней имеет уравнение
Sx lgx= 1 +lgx. Найти приближенные значения этих корней с точностью до 1.
§ 3. Системы логарифмических и показательных уравнений
Решить следующие системы уравнений:
1. ха = У, lg- ^=i&Lf_, с > 0, с Ф 1, а Ф 0, Ъ ф 0, а ф Ь.
У Ige У
2. хх+у = ух~у, х2 у ==--1.
3. ахЬУ = аЪь ху=1, а > 0, Ь>0, афі, Ьф\.
5
4. ig2 X + Ig2 у = Y Ig2 я2, Xj/ = а2, а Ф0.
б. = уу. = V*2. * — V* +VV
6. (1 + уУ= 100, (/-2/+1)--1 = ?=^.
7. ?lga*+plgeJ> = 0, 4у = 0, /?=?0, ?=?0, а>0, аф\.
8. = э у = *"3. 2===У х +К .у.
9. 642*+ 642у= 12, 64^ = 4/2.
10. (у+ 1)-= 10000, (у2— I)2—2= g^T.
108 Алгебра. Гл. VII. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
11. хУ = у*9 3*=15У.
12. Igo.sO' —*) + lg2y=- —2, а:2+ у = 25.
13. хУ = у\ p* = qy9 /7>0, q> O9 рФ I9 q ф 1, /7
14. хУ = ух9 хР = уЧ, pфq.
15. 3*-2У = 576, Ig (у — X) = 4.
16. 5(1^ + 1^3/) = 26, ху = 64.
17. 1^2^+^4^ + ^4^=2, Ig3 ^+ 1?*+1?*==2. ^ + ^16^ + ^12^=2.
(о\Х~у /9 \ х~ У (\К І) -(4) =§• ^-^+^=118.
19. Igx(ay) = /7, lffy (ftx) = ? > 0, * > 0, тФ\.
20. Ig^x— \ga*y = m, lg"?2* — IgVy = ^, где ?>0 и афі.
21. -^1STi,*+ --^a У = 0, -^-Igfl* + -~lgfly=l. где а > О и o 1, т Ф 0, п Ф 0.
22. Igio? 1^iO*+ 1^iO ^gio У = 0' *У = С где а > 0, ft > 0, а ft, с > 0.
23**. хх+У = у12, у*+У = х*.
24. у^+7*+12= le х + ^ = 6в
25. *~^-ру = 2/3, (х+з0 2у~
lgi(2~V
8
.у v
26. jtr^io-v = 4, xj> = 40.
27. IF*—2 - 5У = 71, 11* + 2 • 52 =21, \\{x~1)z + 52 = 16.
g
28. lgyX — \gxy = j, ху=ї6.
29. J' + lgio*=!. аг» = 0,01.
30. lg, у — 4lg-y х = 5, ху = 2.
31. Igx іо +ig, 10 = 5. ig10*+i?i0;' = T
32. -ті=. ¦^-= -6.
