Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
4. Лодка спускается по течению реки на расстояние a KM1 а затем поднимается против течения реки на расстояние Ь км. Скорость течения реки равна V кмічас. Какова должна быть собственная скорость лодки, чтобы вся поездка продолжалась не более чем t час,
5*. Два сплава — из серебра и меди— имеют одинаковую пробу (проба сплава— это отношение веса серебра к весу всего сплава). Если сплавить каждый из них с таким количеством меди, которое содержится в другом, то отношение
проб этих новых сплавов будет не менее ~. В каких пределах должна
заключаться первоначальная проба (т. е. отношение веса серебра к весу всего слитка в первоначальном сплаве), если отношение веса первого по-
лученного сплава к весу второго полученного сплава равно у?
6. На прямом берегу реки отгорожено забором место с трех сторон в форме прямоугольника. Длина всего забора 100 м. Каких размеров должен быть участок, чтобы его площадь была наибольшая?
7*. Точки А и В движутся по направлению к точке О по двум взаимно-перпендикулярным прямым: OA и OB. Расстояние от точки А до точки О в начальный момент равно 6 M1 а расстояние от точки В до точки О в начальный момент равно 7 м. Скорости точек AnB равны соответственно 3 м/сек и 4 м/сек. Через какое время от начального момента расстояние между точками А и В будет наименьшим? Найти это наименьшее расстояние.
8. В каких пределах изменяется скорость точки, движущейся равномерно по прямой, если известно, что при увеличении скорости на 3 м/сек эта точка расстояние в 630 м проходит скорее, притом не менее чем на 1 сек. и не более чем на 4 мин. 40 сек.
9. С поезда сошли два пассажира и направились в один и тот же пункт. Первый половину времени шел со скоростью а, а вторую — со скоростью Ъ. Второй шел первую половину пути со скоростью O1 а вторую — со скоростью а. Который из них пришел раньше к месту назначения?
П. 2. Составление нелинейных неравенств
1. Знаменатель дроби меньше квадрата ее числителя на единицу; если к числителю и знаменателю прибавить по 2, то значение дроби будет больше ~; если от числителя и знаменателя отнять по 3, то значение дроби будет меньше ¦JQ. Найти эту дробь.
2. Вклад в А руб. положен в сберегательную кассу по р% годовых. В конце каждого года вкладчик берет В руб. Через сколько лет после взятия соответствующей суммы остаток будет больше или равен ЗЛ? При каких условиях задача имеет решение?
3*. Непромытый «золотой песок» содержит k% чистого золота. После каждой промывки «золотого песка» отходит р% содержащихся в нем примесей и теряется q% от имеющегося в песке золота. Сколько следует произвести промывок, чтобы число процентов содержания чистого золота в «золотом песке» было не менее чем г? Известно, что q < р.
§ 16. СОСТАВЛЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ
103
4*. Находящийся под постоянным давлением газ в количестве а мъ последовательно пропускают через п фильтров, каждый из которых поглощает р% общего объема примесей, содержащихся в газе, поступающем в рассматриваемый фильтр. Затем газ смешивается с b мъ отнесенного к тому же давлению газа, содержащего q% (по объему) примесей. Какой процент примесей (по объему) допустим для газа до его очистки, если число процентов примесей в газовой смеси не должно превышать г?
б*. В резервуар, содержащий А л воды, сначала через одну трубу вливают а л /7-процентного (по объему) раствора спирта, а затем после перемеши-. вания, через другую трубу, выливают равное количество (т. е. а л) образующейся смеси. Сколько раз нужно повторить эту операцию, чтобы в резервуаре получился раствор спирта крепостью не менее q% (по объему)? Дано, что q < /?.
6. В колбе в начальный момент имеется N бактерий. К концу каждого часа количество бактерий увеличивается на р% по сравнению с тем количеством их, которое имелось в начале этого часа; кроме того, в конце каждого часа из колбы берется порция, содержащая n(n<^N) бактерий. Через сколько часов количество бактерий в колбе будет превышать (после изъятия соответствующей порции) начальное количество их в два раза? Выяснить условия, при которых задача имеет решение.
Глава VII
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ НАД ПОЛЕМ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
§ 1. Доказательство различных равенств, содержащих показательную и логарифмическую функции
1. Доказать, что если
у= Ю1-1**, z = 1O1-1^,
то
1
2. Дано:'lg 676 = 2,82995, Ig 104 = 2,01703. Найти Ig 2 и Ig 5, не пользуясь таблицами.
3. Функция у дана уравнением
У = -^х_а-х . где fl>0 И 0^1.
Выразить
а±х — а~АХ
как функцию только у и наоборот у как функцию z.
4. Доказать, что
где X > 0, х ф I1 а > 0, Ь >0, аф I1 ab Ф L
5. Доказать, что если а и # — длины катетов, а с — длина гипотенузы, причем с — b Ф 1 и с ф- Ь ф 1, то
1S*+* 0 + Чс-ъ 0 = 2 Iff*+* я Чс-ъ а-
6. Доказать, что если а2ф- b2 = 7abt причем аЬф0у то
igi?+AL= * (ig|e|+ig|ft|).
7. Доказать, что
lg. N lg, /V + ig, м ig, а/ + lg, лг lgfl л/ = Ча N^NX^L,
где Л/ > 0, а > О, Ь > 0, с> О, N Ф 1, а 1, Ьф 1, с 1, abc Ф 1.
