Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
2) (s — af + (s — ft)3 + (s — c)3 + 3aftc = 53.
10 Алгебра. Гл. I. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МНОГОЧЛЕНОВ
8. Если a + b + c + d = At а + Ь — с —d = B,
a — b + c—d = C, a — b — c + d = D
и
ab (a2+ b2) = cd (c2 + d2),
то
A? (А2 + В2) = CD (С2 + D2).
9. Если a + u + c + d = Q, то
а) (а3 -\- ft3 + с3 + tf3)2 = 9 (ftcd + с da + tf?ft -j- abc)2 = — 9 (ftc — ad) (са — bd) (ab — cd);
б) (a + b)(a + c)(a + d) = (b+c)(b + d)(b + a) = = (c + d)(c+a)(c+b)=.(d + a)(d + b)(d + cf
в) ad (a + d)2 + bc(a — d)2 + ab(a + b)2 + cd(a — bf + + ас (a + c)2 + fttf (a — cf + 4aftco* = 0;
г) а4 + ft4 + 4- d4 = 2 (aft — са*)2 + 2(ac — bdf 4- 2 (аг/ — bcf + Aabcd.
10. Если yz + zx + xy = Ot то
0>+z? (* + *)2 (*+yf + 2-^2^?2 = *4 (y 4- z)2 4-у (z + xf 4- z4 (* 4- yf.
11. Если
y2 + yz + z2 = a2, z2+zx + x2 = b2, x2 + xy + y2 = c2t ^4-2* 4-*y = 0,
TO
(a 4- b 4- с) (a 4- ft — с) (а — b + с) (— а 4- ft 4- с) = 0.
12. Если
^V= 0^4-^4-^, К —сх 4~#.У+ ^ ^ = Ъх + СУ Л~ az> A = ах 4~ су + bz, В = bx + ay + CZ1 С = сх + by + uz,
то
(X— A) (X-B) (X-C) = (Y-A)(Y-B)(Y-C) = = (Z — A)(Z — В) (Z — С) = XYZ — Л?С.
13*. Если
и — x+y + z + a(y + z — 2х)> V = X + у+ z+ a(z+ X — 2 у), w = X + у + z + а (х + у — 2z),
то
27 а2 (X3 + у3 + z3 — Ъх yz) = u3+v3 + w3 — Suvw.
14*. Если
X= ах + by + CZ1 Y = ay + bz + CX1 Z = az + bx + Cy1
TO
а) X2 + Y2 + Z2 — YZ — ZX— XY =
= (a2 _|_ ?2 C2 _ bc _ ca _ ab) (X2 _j_ y2 Jn 22 yz — ZX — xyf
б) A'34- K34-Z3 — 3ATZ = (a3 + ft3 4-е3 — 3aftc)(x3 + y3 + z3 — 3*yz). 15*. Если
a\ + b\=\, al + b22=\t ala2 + b1b2 = 0t
то
а2 4~а2=Ь fti 4-^2=1, a1bi + a2b2 = 0.
§ 4, ДЕЛИМОСТЬ МНОГОЧЛЕНОВ
11
16**. Если
<А + Ь\ + с\=\, <& + Ь\ + с\=\, ? + Ь\ + с\=\.
Ci1CL2 -|- Ъфг 4- C1C2 = 0, а2а3 + Ъфъ +¦ C2C3 == О, ^3A1 -f- ^3O1 -f - C3C1 == О, то
2 , 2 , 2 « ,2 , ,2 , ,2 « 2,2,2 «
+ Ci2 + а3 = 1, O1 + ft2 + Ьъ — 1, Ci -f - C2 + C3 = 1,
аФ\ H- аФг ~Ь аФъ — 0» + aici H- азсз = О, bicl -f - ^2С2 Н~ *зсз = О-17*. Если
be — р2 = Л, ac — q2 = B, ab —г2 = С,
qr— а р = Pt pr — bq = Q, pq — er = R,
то
(abc -±-2pqr — ap2 — bq2 — er2)2 = ABC + 2PQR — AP2 — BQ2 — CR2.
§ 3. Симметрические многочлены
Выразить через основные симметрические многочлены следующие симме трические функции:
1. x3Jr у3-]-z3 — Sxyz.
2. X2у -f - Xу2 + X2Z 4- XZ2 4- y2z 4- уZ2.
3. x4 4- у* 4- z4 — 2х2у2 — 2y2z2 — 2z2x2. 4*. х*у2 4- х2уь 4- .*?2 + x2?5 4- y*z2 4- y2zK
5. (*+ y)(y + z)(z + x).
6. О2 4- У2) (У2 4- г2) (*2 4- *2).
7. + (Jf +-г) (а: 4-«) +-г) (j; 4-a) H-а).
8. (X — у)2 (у — z)2(z — X)2.
9. (ху H- -ги) (Х2: Н~ у и) (хи 4- 3^2).
ю*. *?4-*2 + *в4- • +4.
п*. ^4-^4-^3 4- ••• + -4-
12**. 4 + 44-44- ... + 4-
§ 4. Делимость многочленов
1. Доказать, что многочлен
а3 (Ь2 — с2) 4- Ь3 (с2 — а2) + с3 (а2 — Ь2) делится на (Ь — с) (с — а) (а — Ь)\ найти частное.
2. Доказать, что многочлен
(b2c2 4- O2Cf2) (Ь — с) (а — d) 4- (с2а2 + ?2яГ2) (с — a) (b — d) + 4- (а2Ь2 4- с2д?2) (а — Ь) (с — d)
делится на
(а — Ь)(а — с) (a — d)(b — с) (b — d) (с — d)\ найти частное.
3. Доказать, что если п и k — целые положительные числа, причем п делится на k, то хп — ап делится на xk — ак\ найти частное.
4. Доказать, что если п и k — целые положительные числа, п делится на ky причем в частном получается нечетное число, то хп-\~ ап делится на xk-\-ak\ найти частное.
12 Алгебра. Гл. I. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МНОГОЧЛЕНОВ
б. Доказать, что если п и k — целые положительные числа, п делится на k, причем в частном получается четное число, то хп— ап делится на xk-+ak\ найти частное.
6. Доказать, что (х-+1)2п— х2п — 2х—1 делится на х (х -4- 1) (2х -+- 1), где п — целое положительное число; найти частное.
7. Доказать, что пхп + 1— (я-f \)хп+-\, где п — целое положительное'число, делится на (х—I)2; найти частное.
8. Доказать, что многочлен
п2хп + 2 — (2п2+-2п — I) хп + 1 + (п-\-If хп — х— 1,
где п — целое положительное число, делится на (х—I)3; найти частное.
9. Доказать, что
хп [Z2 (X — у)2 — у2 (Z — х)2] -+ у" [X2 (у — Z)2 — z2 (X — у)2] + + zn [у2 (Z - x)2 — х2(у — Z)2I
где п — целое положительное число, делится на (у—z)(z — х)(х—у)\ найти частное.
10. Доказать, что ап(Ь—с) + ft77 (с — а)-\~сп(а — ft), где п — целое положительное число, делится на (ft—с) (с — а) (а — ft); найти частное.
11. Вычислить частные:
*з (у-^ + уВ (г-X)+ г* (х-у). d) х*(у-г) + у*(г-х) + з*(х-Уу х± (у* - ^) + У4 (г* - **) + ** (х2 - у2)
V> ХЪ (у-Z) + у* (Z-X) + 2* (X-у) '
12. Доказать, что х4*+2-+ 2х2пл 1 -+ 1 делится на (x-f-1)2. Найти частное и выписать его члены, содержащие х2п~т и х2п + т.
13. Доказать, что
(х -+у-+ zf п± 1 _ Х2Л4 1-у2п + \ _ ^2/I + i1
где я— целое положительное число, делится на
+ У + -2')3 — х3 — ^3 — гЪ-
14. Доказать, что при n = 6k—I1 где k — целое положительное число ^>*1, выражение
