Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
55. Из пунктов AnB одновременно навстречу друг другу выезжают два велосипедиста и встречаются через t часов. Какова скорость каждого, если первый проезжает т км на q час. быстрее второго и если расстояние AB равно 5 км.
56. Два вкладчика положили в сберкассу одинаковые суммы. Первый из них взял вклад по истечении т месяцев и получил р руб., а второй, взяв вклад по истечении п месяцев, получил q руб. Какую сумму положил каждый из них в сберкассу и сколько процентов выплачивает сберкасса? Известно, что т < 12 и п < 12.
57. Два мотоциклиста выехали одновременно: один из А в В, а второй из В в А. Каждый ехал с постоянной скоростью и, приехав в конечный пункт, тут же поворачивал обратно. Первый раз они встретились в р км от В, второй раз в q км от А через t час. после первой встречи. Найти расстояние между А и В и скорости обоих мотоциклистов.
58. Бассейн наполняется водой из двух кранов. Сначала первый кран был открыт в течение времени, за которое бассейн наполняет второй кран, а затем второй кран был открыт на такое время, за которое наполняет
бассейн первый кран. После этого оказалась наполненной —я часть бас-
§ 16. СОСТАВЛЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ
101
сейна. Оэа крана наполняют бассейн за а час. Сколько времени требуется для наполнения бассейна каждым краном в отдельности?
59. Два пешехода вышли одновременно, навстречу друг другу, из пунктов Л и В и встретились через а час За какое время прошел расстояние между А и В каждый из них, если первый, вышедший из Л, пришел в пункт В на b час позже, чем второй пришел в пункт Л?
60*. Шары Л и В, радиусы которых равны г, соединены нитью, длина которой равна а. Шар І?'подвешен к шару Л. Последний выпускают из рук, предоставляя его действию силы тяжести по отвесной линии. Шар В достигает горизонтальной плоскости F1 отражается вверх и в некоторой точке D1 отстоящей на расстоянии 2r+-b от плоскости F1 сталкивается с шаром Л. С какой высоты над плоскостью F был брошен шар Л? Искомым является расстояние от самой нижней точки шара Л до плоскости F. Предполагается, что шар В и плоскость F вполне упругие, так что шар В отражается от плоскости F с той же скоростью, какую он имеет в момент удара. Сопротивлением воздуха пренебрегаем.
61. Ученик должен перемножить два трехзначных числа и полученное произведение разделить на пятизначное число. Но он не заметил знака умножения и принял оба рядом стоящие числа за одно шестизначное. Поэтому полученное частное оказалось в три раза больше истинного. Определить все три числа.
62. В шахматном турнире участвовали два ученика седьмого класса и несколько учеников восьмого класса. Два семиклассника набрали 8 очков, а каждый из восьмиклассников набрал одно и то же количество очков. Сколько восьмиклассников участвовало в турнире? Найти все решения, зная, что каждый с каждым играл один раз.
63*. Л и В едут на лодке между двумя пунктами по реке, скорость течения которой а мімин. В течение переезда минутная стрелка на часах у В перемещается на некоторое число делений. Когда минутная стрелка на часах у Л переместится на столько же делений, он уменьшит скорость и пройдет
2
оставшуюся часть пути со скоростью относительно берега, равной первоначальной скорости относительно берега. Если Л и В едут по течению, то Л совершает первую часть перехода, т. е. до изменения скорости, в промежуток времени, в б раз больший, чем вторую часть. Когда же они едут против течения, то Л совершает обе части перехода (до изменения скорости и после) в равные промежутки времени; Л совершил бы обе части перехода против течения тоже в равные промежутки времени, если бы во
7
второй части перехода шел со скоростью ¦g- первоначальной и при этом
с самого начала поменялся бы часами с В. Полагая, что часы у них идут равномерно (но не одинаково), найти скорости движения А и В. Пусть часы у Л идут верно; как тогда идут часы у В? Пусть часы у В идут верно; как тогда идут часы у Л?
§ 16. Составление неравенств П. 1. Составление неравенств второй степени с одним неизвестным
1. По прямой из точки Л в одном направлении движутся две точки: одна равномерно-ускоренно с начальной скоростью 3 м/сек и ускорением 2 м/сек2, другая равномерно. В каких пределах должна изменяться скорость второй точки, чтобы она сначала обогнала первую точку, но чтобы затем первая точка догнала вторую на расстоянии, не большем 10 м от Л?
2. Расстояние между городами А и В равно 100 км. Из города Л в город В отправляются одновременно два автомобиля. Скорость первого на 10 км/час больше скорости второго, но в пути первый останавливается на 50 мин.
102 Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
В каких пределах может меняться скорость первого автомобиля при условии, что он прибудет в город В не позже второго автомобиля?
3. Велосипедист отправляется с некоторой скоростью из пункта Л в В, отстоящий от А на расстоянии 60 км. Затем он выезжает обратно с той же скоростью, но через один час после выезда он делает остановку на 20 мин. После этого он продолжает путь, увеличив скорость на 4 км/час. В каких границах заключена скорость велосипедиста, если известно, что на обратный путь от В до А он потратил времени не более чем от А до В?
