Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
сюда а2 + Ь2 > 2d2. Неравенства a + b <2d и а2 + Ь2 > 2d2 совместны, что можно
Ответы. § 4. ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ К СТЕРЕОМЕТРИИ 763
установить графически (черт. 334); точки (я, Ь)7 удовлетворяющие неравенству а2 + Ь2 > 2d2, лежат вне окужности радиуса d У2 с центром в начале координат, а точки (а, Ь), для координат которых а + Ь < 2dt лежат по одну сторону от прямой, отсекающей на осях координат равные отрезки 2d (эта прямая касается указанной окружности). Отсюда следует, что точки, удовлетворяющие обоим неравенствам, всегда существуют. Итак, два указанных выше сферических сегмента имеют общую часть, если a2 -f- Ь2 > 2d2.
Общие образующие конусов (M9 А) и (M9 В). Общие образующие конусов (M1 А) и (M1 В) суть общие касательные к сферам (А) и (В), проходящим через точку М. Обратно, всякая касательная, общая сферам (А) и (В), пересекает сферу (S) в точках H и К* являющихся ортогональными проекциями точек / и / на эту общую касательную, и конусы с вершиной в H (или K)1 описанные вокруг сфер (А) и (B)1 равны; для них эта общая касательная будет общей образующей. Таким образом, число общих касательных к сферам (А) и (B)1 проходящих через точку M сферы (S)1 совпадает с числом общих прямолинейных образующих конусов (M1 А) и (M1 В). Рассмотрим три случая: a) a2 -f- Ь2 < 2d2. Геометрические места точек HnK суть два сферических сегмента сферы (S) без общих точек; обозначим их через SHl Sj^1 а через S' — оставшийся шаровой пояс. Через /или J проходит бесконечное множество общих касательных к сферам (А) и (В); конусы совпадают. Если точка M принадлежит SH или SK (не совпадает с I п J)1 имеются две общие образующие. Если M лежит на поясе S', нет ни одной общей образующей, а если точка M лежит на граничной окружности сферического сегмента SH или S^1 имеется лишь одна общая образующая, проходящая через / или /, по которой конусы касаются; б) а2 + Ь2 > 2d2. Геометрическое место точек H и К суть также сферические сегменты SH и S^1 но в этом случае они имеют общую часть S' — сферический пояс. Если M совпадает с / или /, эти конусы совпадают. Если M расположена на SH или S^1 но не в их общей части, имеются две общие образующие; если точка M лежит на поясе S', имеются четыре общие образующие, и, наконец, если точка M лежит на граничной окружности одного из сегментов Sn или S^1 имеются три общие образующие, а по одной из них конусы касаются; в) а2 + Ь2 = 2d2. Шарового пояса S' не существует. Если точка M лежит на SH или S^1 но не совпадает с /, / и точками граничного круга, то имеются две общие образующие. Наконец, если точка M лежит на граничной окружности сферических сегментов SH и Sк, то конусы (M1 А) и (M1 В) имеют две общие образующие, причем по каждой из них они касаются.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.................................. 3
ЧАСТЬ I Алгебра
Глава I. Тождественные преобразования................... 7
§ 1. Тождественные преобразования многочленов............... 7
§ 2. Условные тождества между многочленами................. 9
§ 3. Симметрические многочлены....................... 11
§ 4. Делимость многочленов.......................... 11
§ 5. Разложение на множители ........................ 14
§ 6. Разные задачи на многочлены...................... 16
Глава II. Алгебраические дроби........................ 18
§ 1. Тождественные преобразования алгебраических дробей.......... 18
§ 2. Условные тождества........................... 20
Глава III. Радикалы и иррациональные выражения.............. 24
§ 1. Тождественные преобразования иррациональных выражений........ 24
§ 2. Условные тождества. Преобразование равенств, содержащих иррациональные выражения.............................. 28
Глава IV. Общие свойства уравнений и неравенств............. 29
§ 1. Эквивалентность уравнений........................ 29
§ 2. Доказательство неравенств........................ 34
§ 3. Эквивалентность неравенств и смешанных систем............. 41
Глава V. Линейные уравнения и линейные неравенства........... 44
§ 1. Линейные уравнения........................... 44
§ 2. Линейные уравнения, содержащие параметры............... 45
§ 3. Линейные неравенства .......................... 49
§ 4. Составление линейных уравнений..................... 51
П. 1. Составление линейных уравнений с одним неизвестным...... 51
П. 2. Составление систем линейных уравнений с несколькими неизвестными ............................... 54
Глава VI. Уравнения и неравенства высших степеней............ 61
§ 1. Квадратный трехчлен............................ 61
§ 2. Корни целой рациональной функции от одного аргумента......... 67
§ 3. Рациональные уравнения с одним неизвестным.............. 71
§ 4. Рациональные уравнения с одним неизвестным, содержащим параметры . . 72
§ 5. Системы рациональных уравнений с двумя неизвестными......... 76*
§ 6. Системы рациональных уравнений с двумя неизвестными, содержащие параметры .................................. 78
