Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Моденов П.С. -> "Сборник задач по специальному курсу элементарной математики" -> 378

Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.

Моденов П.С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики — М.: Высшая школа, 1960. — 766 c.
Скачать (прямая ссылка): szpskemmodenov1960.djvu
Предыдущая << 1 .. 372 373 374 375 376 377 < 378 > 379 380 .. 381 >> Следующая


Ответы. § 4. ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ К СТЕРЕОМЕТРИИ 761

параллельны одной и той же плоскости (перпендикулярной pq). Значит,--= =

hq

KP л

= = -у. Рассмотрим треугольники aph и bqh; они подобны, так как

/ пло hp ap а НА а „

^p = ZQ= 90° и -jjq = -щ- = -j , значит, -jj? = у; следовательно, точка h

лежит на сфере (5). Аналогично доказывается, что и точка К лежит на сфере (5). Расположение hi относительно треугольника ahb и KJ относительно треугольника КАВ. Так как = у = -jg , то hi есть биссектриса внутреннего угла А

треугольника hab; hj—биссектриса внешнего угла А (ибо Z ihj = 90°). Аналогично доказывается, что kj есть биссектриса внешнего угла А треугольника КАВ, a ki—биссектриса внутреннего угла А того же треугольника.

Черт. 332.

Центры гомотетии окружностей сечения сфер (А) и (В) плоскостью, перпендикулярной IH и проходящей через Н. Плоскость, проходящая через точку H и перпендикулярная IH, пересекает плоскость AHB по прямой HJ, перпендикулярной HI. Пусть эта плоскость пересекает сферы (А) и (В) по окружностям (A') и (B'). Так как / есть центр положительной гомотетии для сфер (А) и (В), он будет тем же и для окружностей (A') и (B'). Обозначим через А' и В' центры окружностей (A') и (B'); точки А' и В' суть ортогональные проекции точек А и В на HJ. Так как четверка точек А, В, I, J — гармоническая, то и А', В' Н, J — гармоническая четверка, а потому точка Н, гармонически сопряженная с точкой / относительно А', В', есть центр отрицательной гомотетии окружностей (A') и (B'). Аналогично доказывается, что плоскость, перпендикулярная JK в точке К пересекает сферы (А) и (В) по окружностям, для которых К — центр положительной гомотетии, а / — центр отрицательной гомотетии.

Геометрическое место ортогональных проекций точек / и J на общие касательные к сферам (А) и (В). Мы видели (III, 2°), что ортогональные проекции HuK точек / и / на касательные, общие к сферам (А) и (В), лежат на сфере (S). Обратно: пусть H—какая-нибудь точка сферы (S). Если плоскость, перпендикулярная IH и проходящая через Н, пересекает сферы (А) и (В) по окружностям (A') и (B'), то эти сечения лежат одно вне другого так же, как и сферы (А) и (В); при этом точка H лежит вне этих сечений, так как она лежит и вне сферы (А), и вне сферы (В). Из точки H можно тогда провести две общие касательные к окружностям (A') и (B'), которые вместе с тем будут и общими касательными к сферам (А) и (В). Остается установить условие, при котором

762

Ответы. Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

плоскость, перпендикулярная отрезку IH и проходящая через точку H1 пересекает сферы (А) и (В). Это будет так, если А А' < а. Далее (черт. 333), — = -т- = ¦ 2,^,,

0> О CL —J- U

JA JB Ы rr Aabd дя Л AA' AJ

-= — =-г, откуда IJ = —5---г. Мы видели, что —- = -.

aba — b J а2 — b2 IH JI

Пусть H' — проекция Hm AB1 тогда IH= V IH'. IJ1 AN = AJ^I!jL и усло-

Черт. 333.

4abd

IJ а2_Ь2

вие AA' < а принимает вид IH' < a2 -Jj2- = а2 —4д2^2

ab а — b

d a + b

Это со-

(а — b)2

отношение показывает, что точка H должна лежать на сферическом сегменте (S)

or «. , ab а — Ь ~ ,

с вершиной / и высотой hH = —j- п j_h * Этот сферический сегмент и есть

d a + b

геометрическое место точек Н. Его площадь равна 4тс

а2Ь2

Заметим, что

(а+Ь)2

предыдущее вычисление предполагает, что H отлично от /. Если H и I совпадают, существует бесконечное множество общих касательных к сферам (А) и (В), проходящих через H и образующих конус с вершиной H1 описанной вокруг сфер (А)

и (В). Если H лежит на указанном сферическом сегменте, то существуют две общих касательных к сферам (А) и (B)1 проходящих через H и перпендикулярных IH; если H лежит на граничной окружности этого сферического сегмента, существует лишь одна общая касательная к сферам (А) и (B)1 перпендикулярная IH Аналогично доказывается, что геометрическое место точек К есть сферический сегмент сферы (S) с вершиной /, высота и площадь которого соответственно

, ab а + Ь 4ъа2Ь2 _

равны: Ад, = — —_ и яд- = {a_by . Если точ-

ка К совпадает с /, имеется бесконечное множество общих касательных к сферам (А) и (B)1 проходящим через /С Эти касательные образуют конус с вершиной /, описанный вокруг сфер (А) и (В). Если точка К лежит на сферическом сегменте, определенном выше, то через нее проходят две касательные к (А) Черт. OO4. и перпендикулярные JK; если точка К лежит на

граничной окружности соответствующего сферического сегмента, через нее проходит лишь одна общая касательная к сферам (А) и (B)1 перпендикулярная JK- Для того чтобы два сферических сегмента имели общую часть, необходимо и достаточно, чтобы hH + hK> IJ при условии, что это не-

• і л • , , , п ab а2 + Ь2 равенство совместно с неравенством a + b <2d; но hH+hK = 2—^- д2_^2 > от"
Предыдущая << 1 .. 372 373 374 375 376 377 < 378 > 379 380 .. 381 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed