Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
Ответы. § 4. ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ К СТЕРЕОМЕТРИИ 761
параллельны одной и той же плоскости (перпендикулярной pq). Значит,--= =
hq
KP л
= = -у. Рассмотрим треугольники aph и bqh; они подобны, так как
/ пло hp ap а НА а „
^p = ZQ= 90° и -jjq = -щ- = -j , значит, -jj? = у; следовательно, точка h
лежит на сфере (5). Аналогично доказывается, что и точка К лежит на сфере (5). Расположение hi относительно треугольника ahb и KJ относительно треугольника КАВ. Так как = у = -jg , то hi есть биссектриса внутреннего угла А
треугольника hab; hj—биссектриса внешнего угла А (ибо Z ihj = 90°). Аналогично доказывается, что kj есть биссектриса внешнего угла А треугольника КАВ, a ki—биссектриса внутреннего угла А того же треугольника.
Черт. 332.
Центры гомотетии окружностей сечения сфер (А) и (В) плоскостью, перпендикулярной IH и проходящей через Н. Плоскость, проходящая через точку H и перпендикулярная IH, пересекает плоскость AHB по прямой HJ, перпендикулярной HI. Пусть эта плоскость пересекает сферы (А) и (В) по окружностям (A') и (B'). Так как / есть центр положительной гомотетии для сфер (А) и (В), он будет тем же и для окружностей (A') и (B'). Обозначим через А' и В' центры окружностей (A') и (B'); точки А' и В' суть ортогональные проекции точек А и В на HJ. Так как четверка точек А, В, I, J — гармоническая, то и А', В' Н, J — гармоническая четверка, а потому точка Н, гармонически сопряженная с точкой / относительно А', В', есть центр отрицательной гомотетии окружностей (A') и (B'). Аналогично доказывается, что плоскость, перпендикулярная JK в точке К пересекает сферы (А) и (В) по окружностям, для которых К — центр положительной гомотетии, а / — центр отрицательной гомотетии.
Геометрическое место ортогональных проекций точек / и J на общие касательные к сферам (А) и (В). Мы видели (III, 2°), что ортогональные проекции HuK точек / и / на касательные, общие к сферам (А) и (В), лежат на сфере (S). Обратно: пусть H—какая-нибудь точка сферы (S). Если плоскость, перпендикулярная IH и проходящая через Н, пересекает сферы (А) и (В) по окружностям (A') и (B'), то эти сечения лежат одно вне другого так же, как и сферы (А) и (В); при этом точка H лежит вне этих сечений, так как она лежит и вне сферы (А), и вне сферы (В). Из точки H можно тогда провести две общие касательные к окружностям (A') и (B'), которые вместе с тем будут и общими касательными к сферам (А) и (В). Остается установить условие, при котором
762
Ответы. Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
плоскость, перпендикулярная отрезку IH и проходящая через точку H1 пересекает сферы (А) и (В). Это будет так, если А А' < а. Далее (черт. 333), — = -т- = ¦ 2,^,,
0> О CL —J- U
JA JB Ы rr Aabd дя Л AA' AJ
-= — =-г, откуда IJ = —5---г. Мы видели, что —- = -.
aba — b J а2 — b2 IH JI
Пусть H' — проекция Hm AB1 тогда IH= V IH'. IJ1 AN = AJ^I!jL и усло-
Черт. 333.
4abd
IJ а2_Ь2
вие AA' < а принимает вид IH' < a2 -Jj2- = а2 —4д2^2
ab а — b
d a + b
Это со-
(а — b)2
отношение показывает, что точка H должна лежать на сферическом сегменте (S)
or «. , ab а — Ь ~ ,
с вершиной / и высотой hH = —j- п j_h * Этот сферический сегмент и есть
d a + b
геометрическое место точек Н. Его площадь равна 4тс
а2Ь2
Заметим, что
(а+Ь)2
предыдущее вычисление предполагает, что H отлично от /. Если H и I совпадают, существует бесконечное множество общих касательных к сферам (А) и (В), проходящих через H и образующих конус с вершиной H1 описанной вокруг сфер (А)
и (В). Если H лежит на указанном сферическом сегменте, то существуют две общих касательных к сферам (А) и (B)1 проходящих через H и перпендикулярных IH; если H лежит на граничной окружности этого сферического сегмента, существует лишь одна общая касательная к сферам (А) и (B)1 перпендикулярная IH Аналогично доказывается, что геометрическое место точек К есть сферический сегмент сферы (S) с вершиной /, высота и площадь которого соответственно
, ab а + Ь 4ъа2Ь2 _
равны: Ад, = — —_ и яд- = {a_by . Если точ-
ка К совпадает с /, имеется бесконечное множество общих касательных к сферам (А) и (B)1 проходящим через /С Эти касательные образуют конус с вершиной /, описанный вокруг сфер (А) и (В). Если точка К лежит на сферическом сегменте, определенном выше, то через нее проходят две касательные к (А) Черт. OO4. и перпендикулярные JK; если точка К лежит на
граничной окружности соответствующего сферического сегмента, через нее проходит лишь одна общая касательная к сферам (А) и (B)1 перпендикулярная JK- Для того чтобы два сферических сегмента имели общую часть, необходимо и достаточно, чтобы hH + hK> IJ при условии, что это не-
• і л • , , , п ab а2 + Ь2 равенство совместно с неравенством a + b <2d; но hH+hK = 2—^- д2_^2 > от"