Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
. п . _ . а — b . . . а-\-Ь
значая угол от AB до AP через X, найдем ^ •< cos Х< —т~—.
Построение общих касательных, проходящих через Р. Если P совпадает с P1 или P21 то единственная общая касательная к сферам (Л) и (В) есть касательная к (а) в точке P1 или P2. Если P лежит на дуге РХР2, касательная к (а) в P пересекает (?) в точках ц и ja'. В этом случае плоскость, касательная к сфере (Л) в точке P1 пересекает сферу (В) по окружности с диаметром jajx'; если совместить эту окружность с плоскостью (v) поворотом вокруг jj.fi/, то окружность сечения совместится с окружностью (X), лежащей в плоскости (v) с диаметром fxfj/, а касательные к окружности сечения сферы (В) совместятся с касательными, проведенными к окружности (X) из точки Р. Отметим еще, что ортогональные проекции точек QhQ' прикосновения общих касательных к сферам (Л) и (В) на плоскость (v) будет точка пересечения fj.jx' с хордой, соединяющей точки прикосновения касательных, проведенных из точки P к окружности (X) (черт. 325).
Ответы. § 4. ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ К СТЕРЕОМЕТРИИ
759
3°. Геометрическое место точек прикосновения общих касательных к сферам (А) и (В). Предыдущие рассуждения имеют место для всех плоскостей, проходящих через AB; значит, геометрическое место точек P есть шаровой пояс, полученный вращением дуги PxP2 вокруг AB. Этот пояс ограничен окружностями, по которым касаются со сферой (А) конусы, описанные вокруг сфер (А) и (В), вершины которых являются центрами внешнего и внутреннего подобия этих сфер. Эти конусы касаются сферы (В) по окружностям, которые ограничивают на сфере (В) шаровой пояс, являющийся геометрическим местом точек Q прикосновения к сфере (В) общих касательных к сферам (А) и (В). Высота шарового пояса сферы (А) равна
ab 2ка2Ь _
—г- , а его площадь —^—. Вы-а а
сота шарового пояса сферы (В)
* ab
будет также —^-, а его пло-
2%ab2 щадь —-Z—. а
II. Случай равных сфер. 1°. Общий перпендикуляр к AB Черт. 325.
и PQ. Пусть F—ортогональная
проекция середины О отрезка AB на касательную PQ1 общую к сферам (А) и (В). Так как прямые AP1 OF и BQ перпендикулярны одной и той же прямой PQ, то
Черт. 326.
все они параллельны одной и той же плоскости (перпендикулярной PQ); значит, I=AOiOB = PFiFQ1 а потому PF = FQ1 т. е. F—середина отрезка PQ; отсюда следует, что Д APF = Д BQF1 так как (черт. 326) ?APF = ?BQF = 90°, AP = BQ и PF = FQ; значит, FA = FB1 поэтому точка F лежит в плоскости, проходящей
Черт. 327.
fP4
Черт. 328.
через точку О перпендикулярно отрезку AB. Отсюда и следует, что прямая FO есть общий перпендикуляр к AB и PQ.
Ортогональная проекция AB9 PQ9 AP9 OF9 BQ. Если плоскость проекции параллельна одновременно AB и PQ1 то она перпендикулярна их общему перпен-
760
Ответы. Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
дикуляру OF. Отсюда следует, что проекции о и / точек О и F совпадают (черт. 327). Проекции ab и pq отрезков AB и PQ имеют общую середину о. Значит, проекция указанной конфигурации состоит из двух диагоналей параллелограмма и двух его параллельных сторон (ap\\bq). Заметим еще, что AB и PQ и угол между ними проектируются в истинную величину. Если плоскость проекции перпендикулярна PQ, три точки р, /, q совпадают (черт. 328). Отрезок OF проектируется в истинную величину of, а отрезок AB проектируется в отрезок ab, перпендикулярный of, причем точка о —середина ab; AP и BQ проектируются в истинную величину. Таким образом, проекция есть равнобедренный треугольник, причем ар = bq = а, а высота h = OF. Если плоскость проекции перпендикулярна AB, три точки а, о, b совпадают, OF проектируется в истинную величину of; PQ проектируется в отрезок pq с серединой /, причем of ± pq. Проекция есть равнобедренный треугольник, стороны ар и bq равны, а высота /г = OF (черт. 329).
2°. Значения для PQ9 OF9 у9 z и и. Выполняя построение, аналогичное черт. 329; однако для случая а = b (черт. 330) найдем: PQ = 2 Yd (d — a cos а) ,
OF = Yа (а -a2 — d2-
- d COS а) ,
- ad cos а
¦d2
d2-
~~ a2-\-d2 — ad cos а m2 — 1
У'~ m2 + 1 — 2mx 9 *
Если положить
2ad cos а а ~d
1
2d cos а
а
= т, cos а = х, то w = l-
2х
т2 — 1 — тх т2 -J- 1 — тпх
{черт. 331, где т •
III. Случай неравных сфер. 1°. Геометрическое место вершин M равных конусов (M9 А) и (M9 В). Пусть а — половина острого угла осевого
Черт. 330.
сечения конуса (Af, А), описанного вокруг сферы (А) с вершиной М; тогда sin а = -^- f
аналогично sin ? = , где ? — половина острого угла в осевом сечении конуса
с вершиной Af, описанного вокруг сферы (в). Так как конусы равны, то а = ?; ma а _
значит, = —. Геометрическое место точек M9 удовлетворяющих этому усло-
Ta
вию, есть сфера (s), диаметр // которой лежит на прямой ab, причем —--=
_ ib
ja а
= -rrr- = -7-; / — это центр отрицательной гомотетии сфер (а) и (в); j—это jb о
центр положительной гомотетии тех же сфер. Так как сфера (в) лежит вне сферы (А) и а > Ь, то точки / и / лежат вне обеих сфер; сфера (S), следовательно, лежит вне сферы (А) и внутри ее лежит сфера (в). Все точки сферы (S) служат поэтому вершинами конусов, описанных вокруг сфер (А) и (в). Таким образом, геометрическое место вершин равных конусов, описанных вокруг сфер (А) и (в), есть вся сфера (S). В частности, если точка m совпадает или с /, или с /, эти конусы совпадают, причем они описаны одновременно вокруг сфер (А) и (в). Проекции точек / и J на касательные, общие сферам (a) H(Z?). Пусть (черт. 332) общая касательная к сферам (А) и (в) касается этих сфер соответственно в точках PhQ. Обозначим через h и к ортогональные проекции точек / и / на PQ. Прямые АР, bq, ih и jk, будучи перпендикулярны одной и той же прямой PQ,