Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
cos71
# |/*462 — #2 cosec2 ~
TZ
36.
37. t/ = ~ ----1-- 1/1 — 2 cos a cos 8 cos — —
oi«2 71 v n
... .2« (г +1)ті „64gasm —cos-L_- « -A >---
48sin3 ^ + 1** ' ' 24 sin2 і
— cos2 a — cos2 3 — cos2 —.
r n
Ответы. § 4. ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ К СТЕРЕОМЕТРИИ
757
П. 6. Цилиндр
1. Vr2 sin2а + d2 cos2«. 2. 7Т4— Y- cos 2а. 3. sin х = , а& < h2. 4. T^ + sin^
г 1 2 sin а п 2
5. 2Rn sio у |/~Я2 + 4iR2m2 sin4 . Предела нет.
П. 7. Конус
« СЛО о oi43Y4K2 — a2 о0 .а . о . а - ^ sin а . ,3A Зі/
1. 60°. 2. -~7у^—o-. 3. 2 3FCSm75-. 4. 27TSIn77-. 5. -у-—:-. 6. г = 1/ —ctg а,
24тс3 2тс 2 1 + sin а г ті
¦шЬГ Zv - _ ,а P sin а __/~Pcosa Л тсО
a = J/X 7- *sctgir 8- —TV J/ -?-- 9-S = -sTnT'
б COS3 у
1 -л лГ- 1Л тс/3 , і о * 2 \ it 2n — \±YAn(n — 2)
V= у "Q FCtga. 10. Sin a (1 + 2 Sin2 a). 11. COSa = -^ } -•
14. ^(^2 — r2) . 15> arcsin 1-. 16. 27r/2sinfl5°+^cosf~ —15°V 18. arccos7^. cos а 5 V 2 / \ 2 / /?
. 3 —00 гьА2 . ті Yb2 — a2 (62 ctg2 а — а2 ctg2 ?) 19. arctg-—. 22.-. 26. sin cp=sina cos 6. 27.-------———
2 cos« 24(ctg2а —ctg2 ?)/2
ЛО 1 ОЛ #sin?sin2a a sin 2a sin 2? Л n
28. cos cp = — . 29. 0/ . 2 Qr—гут. 31. -r . /Q ,—ч . /Qr-r , при0 < ? < 90°и
T 3 2 (sin2 ? — sin2 a) 4 sin (3 -f a) sin (? —¦ а) ' r ґ
ІЛ . ,y-o . sin-1/ 1— cos2 a sin2— -f- cos a sin —
0<a<arctg -Itg?V34. ^"«35.*--^--5-.
' 2sln(. + j) .(1+cosa)
oc V (ABCDp л .a.?.Y _ . a ,
36. -y--^-~-, где A = sin 2 + sin 4j + sin ± , ? = sin у +
sin2 Tj sin2 sin2 y
+ sin ~ — sin т|, C == sirt у — sin -~ + sin , D = — sin ~ -f sin -|- + sin і .
(21 sin a sin — \ , , ч 1/ sin sin ~
2 sin - -f tg a J cos
П. 8. Сфера в комбинации с многогранниками, цилиндром и конусом
5. 2. 6. 2 arcsin 2 -1). 7. +cos«)» , g> g/2 cos2 e, f « 9> 4 3 « ctg я.
y sin2 a cos а ь 2 & 2 0
rcl3 sin3 2a
iu. 12
П. y|/ ctg Tj- cosec2 - j . 14. —sec a cos2 -g- ctg2 j tg
15. 4 #3 (l + coscp)3 ^ 4 гз 2 a y_cosa> 2
3 cos <p sin2 cp sin a 3 2 3 0
a
2тгг3 Ctg3 [450 — |-] tga —2sin3a
19. arctg 2. 24. ctg6-^ — 1. 25. -x-W-*--. 27. 2 sin3 a
s ь 2 3 cos a sin 2a
28. sin* = 3 — 21/2". 29. 2 arcsin 4 или 2 arcsin-і. ЗЭ. v = \ ~R3 4 ~ l1"' -, f 6 6 3 sin2 a 1
2/3/?*ctg»| 2
5 = Ж- 3,-s =-Eb^-- «-yf*«*?** 32-аилиТой-
4тс a тс VlF 1 1
33. — tg3 j ctg a ctg —. 34. -~- sin2 a sin2 2a. 35. 2 arctg —-= или 2 arctg y-j- •
36. 2»« - «г». 37. , = ^8'" , « = ^3-^-. 39. 120°.
cos4 |- 3cos2 j
758
Ответы. Тригонометрия. Гл. XXX, ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
44.4*/>(j + |)-n(j-|). 45.
46. Sita2 cos318° = Ъш2 tg 54°. 47. па2. 48. ~- tg
а
X 49 2 ' 4У
{2Yr2 — а2 + VZr2 — 4а2 ). 1
53. Г. 7 лежит на ЛС между Л и С, причем IA = г =
а ~\~ с
2°. Отношение нижней части к верхней равно
3°.
тс (а ¦
Отношение
-C)2X
площади _ (а-с)2
sin W
площади
2 sin а'
be а +с
J=F ~ ^ T треугольника
50.
ВСЯ' равно
1°,
сферы скость
— X2) Ya2 —X2
54. I. Определение Общие касательные (А)
общих касательных к двум неравным сферам, к сферам (А) и (B)9 проходящие через точку P
Геометрическое место касательных (P)1 перпендикулярная радиусу AP в
Черт. 324.
касания, тогда PQ проходящей через
будет единственной Р. в) Плоскость (р)
к сфере (Л) в точке P есть пло-точке Р. Могут представиться три случая: а) Плоскость (р) пересекает (В) (черт. 324). Пусть (С) — окружность, по которой плоскость (р) пересекает сферу (В). Так как сфера (Л) лежит вне сферы (B)1 точка P лежит вне окружности (С); в таком случае из точки P к окружности (С) можно провести две касательные— это и будут две общие касательные к сферам (Л) и (?), проходящие через точку Р. Для их построения достаточно построить в касательной плоскости к сфере (А) в точке P окружность на Pa как на диаметре; точки 0 и О' прикосновения общих касательных PQ и PQ' к сфере (В) будут точками пересечения построенной окружности и окружности (С), б) Плоскость (р) касается сферы (В). Пусть Q— точка касательной к сферам (Л) и (В),
общей
не пересекает сферы (В). В этом случае нет ни одной общей касательной к сферам (Л) и (В), проходящей через точку Р.
2°. Дуга полуокружности (ах)9 через точки которой проходит, по крайней мере, одна касательная, общая сферам (А) и (В). Рассмотрим плоскость (г/), проходящую через AB и пересекающую (Л) и (В) соответственно по большим окружностям (а) и (?). Пусть P — точка полуокружности (а), ограниченная прямой AB. Плоскость, касательная в точке P к сфере (A)1 пересекает (v) по прямой, касательной к (а) в точке Р. К сферам (Л) и (В) можно провести две, одну или ни одной общей касательной, проходящей через P1 если соответственно указанная касательная пересекает, касается или не пересекает (?). Дуга P[P2, для точек которой проходит, по крайней мере, одна общая касательная к сферам (Л) и (В), заключена между точкой прикосновения Px общей внешней касательной к окружностям (а) и (?) и точкой прикосновения P2 общей внутренней касательной. Обо-
