Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Моденов П.С. -> "Сборник задач по специальному курсу элементарной математики" -> 375

Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.

Моденов П.С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики — М.: Высшая школа, 1960. — 766 c.
Скачать (прямая ссылка): szpskemmodenov1960.djvu
Предыдущая << 1 .. 369 370 371 372 373 374 < 375 > 376 377 378 379 380 .. 381 >> Следующая


2°. Величина MN2: у = MN2 = \ у 1 = X2—axY%+a2' График этой функ- ^

? \

і2І


N
Ч0'

>
/
fp- ^w

в

Черт. 322.

ции — дуга параболы с вершиной > ~^ и граничными точками (0, а2) и (a Y% а2)

(черт. 323). Исследование случая, когда MN=L Если /<

V 2'

решении нет;

Ответы. § 4, ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ К СТЕРЕОМЕТРИИ

755

если / = -т=г, имеется одно решение (MN совпадает с ОО'); если —~ < /<а,

У2 V2

имеется два решения (в случае I = а— два крайних случая); при I > а нет решений.

3°. Вычисление а и ? при условии, что MN минимально. В этом случае треугольники ОАО' и QBQ' равносторонние и, значит, а = ? = 60°. Общий случай. Заметим, что MB2 = NA2 = а2-\-х2 — ах Y 2 = MN2; значит, треугольники MNA и MNB равнобедренные с вершинами N и M; значит, cos а = ==

X 0 BN 2Y~2 — x

= —, cos ? =-=- ; отсюда сле-

2 V хг — ах Y 2 + а2 2MN 2V X2 — ах Y2 — 02

дует, что cos а и cos ? одновременно в нуль не обращается. Значит, MN никогда не может быть перпендикулярна AC и FB. Это можно установить и геометрически: MN ±_ AB; и, значит, если MN X AC1 то MN будет перпендикулярна плоскости ABCD и, значит, не будет перпендикулярна BF.

а а 2Y2_29

Значение cos 2а при х = ^ . Если х= у, то cos 2а =-^-.

П. 2. Параллелепипед

1, abc Y— cos 2а (45° < а < 135°). 2. cos ср = /2 cos а, если 45° < а < 90°; cos ср =

п_ 1 ЇЧ SiIl а COS2 а sin Ф

= /2 cos (180° — а), если 90° < а < 135°. 3. -г/Чт= , , ч ,-г '

1 4 7 ^ 3 У COS (а -\- ср) COS (а — ср)

4. 21/"2 d2 sin а tg ? cos (45° — а). 5. cos х = sin а sin ?. 6. Если 0° < а < 60°, то существует только один параллелепипед, удовлетворяющий условию задачи. В двух противоположных вершинах этого параллелепипеда будут сходиться ребра, каждая пара которых образует угол а. Объем этого параллелепипеда равен

V = 2а3 sin у j/~sin ~- sin ~ . Если 60° < а < 90°, то, кроме указанного параллелепипеда, можно построить еще один: в двух противоположных вершинах этого параллелепипеда будут сходиться ребра, каждая пара которых образует угол

ЗОЇ OL

— COS -g- COS -g- .

7. abc sin a sin ?. 8. Yau i? + b cos a) (b -f- a cos a). 12. Секущая плоскость должна быть параллельна большей диагонали основания и составлять с плоскостью осно-

a VQ

вания угол, косинус которого равен tg -^-. 13. -^- sin a.

П. 3. Призма 4fsin Y-f-l/2cosa j

2. a26 sin a sin fi. 7. ----— 5. 9. arccos (tg ).

a a /-s- \ Z /

sin ~2 -)- cos -g- + У 2 COS a

/?3 sin ~ COS2 ~ tg ? „2l/T/„ іл їй

8sin6^45°+~) 4

П. 4. Треугольная пирамида

1. I а* sinУс-^. 2. -О.** cos* a sin «. 3.1 5. sin | = lQ±|~UfL.

fes —д3 4 „ 6-а t . a/4&2 — я2 t

6. и =-tg a. 7. •-r=-tgcc. 9. -tga.

12 2/3 2(a + 26)

2^3sin (|-+30°) sin (|— 30°) cig41- .

11. -ii-/-^-L-=_. 12. t/ = -^-sin2<ptg<,

9я sin2|-

s = ^El (l + sin J sin <). 13. i- sin2 a cos Ij/"sin(60°+|)sin(60o-|-).

?a ^ тс sin2 a ^ a2

14. _ cosec-f. • 6V-3a^_slni^cos2!L) ' ' 2/2 sin«'

Ответы. Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

Z3 ? Г 6 in c-cos ? — 6 cos 7

:. jl em P т/ cos* 1-- cos2 a. 19. cos 9 = ± f ,

3 2 r 2 у 62+ c2 — 26c cos a

_ / 2 _a_

be У*1 + 2 cos a cos ? cos Y — cos2 a — cos2 ? — cos2y [ 2

згс cos

|/*c2 sin2 ? + 62 sin2 7 + 26c (cos 7 cos ? — cos a) * * V |/*3

26. «^^-±4±l,,n-a + P + W--^

П. 5. Многоугольные пирамиды

.2 сіп2

a

l.^sin>|/cos«. 2.2/^^45=-^.4.--3^. 5. j?L*.(2_?)

sin2 -^-

ч ~ л3 sin 2a cos a sin3 ? /и Л m ,/¦«7

(a — в градусах). 6. — —. 7. агс cos —— ,0 < — < У 2.

У 2 sin3 (a + ?) riy 2 Л

9. arctg———, если п^ту2; если п с ту 2, re пений нет. 10, <z2sin3a, 45° < а < 90°«

2/2/72/2

(sin-^- + 1^— COSa ) (2 sin -^-— "j/"—-COS а ) .

\ 2 і / V 2 / 10 /2COS а sin 2а P2 sin 2а

11. т- \ 2 7- —г • і-*. —о „5„9_____о.. • —ті—•

(sin-^-—COSaJ (2 Sin ~ +V— COS a J

* 2 sin2 a cos За" За

cos cos р

14. _|/з-?——. 15. j Q sin а /q cos а. 18. і q тл? tg a tg p.

sin3 -g-

20. sin- = -^J=; 5іпі = і/"?-и±*!>. 21. -^-slnatgj. 22. 2arctg*i—

2 2/l+&2 2 ' 3 + 4&2 2 6 2 & 2

либо ~ — 2 arc tg /я. 23. 2*^* (1 + cos a). 24. a2 sin a ctg ^45° — .

fl3 sin2 a tg cp tg ф

25.

6 i^tg cp cos у + tg ф sin u

cp — двугранный угол, об вершину пирамиды и мень

j/" cos2 3sin2— ? sin -^- + 3 cos ? |/" cos2 ~--3 sin2 ~ ^

6 (/3 sin ? sin j + cos ? ]/~cos2 ~ — 3sin2 j )2 27. ^K2c2±/4^=p: c°s?=j/~^±|A|ZZ.28. -?-^tg2f Va(a--26).

— где cp — двугранный угол, образуемый основанием и плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и меньшую диагональ основания.

26,

TZ

cos —

tl _~ п

29. sin-o- = cos a sin - . 30. tgx = tga cos — . 31. SJn77 =-. 32, — tg —

2 n 2 a я6л
Предыдущая << 1 .. 369 370 371 372 373 374 < 375 > 376 377 378 379 380 .. 381 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed