Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
2°. Величина MN2: у = MN2 = \ у 1 = X2—axY%+a2' График этой функ- ^
? \
і2І
N
Ч0'
>
/
fp- ^w
в
Черт. 322.
ции — дуга параболы с вершиной > ~^ и граничными точками (0, а2) и (a Y% а2)
(черт. 323). Исследование случая, когда MN=L Если /<
V 2'
решении нет;
Ответы. § 4, ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ К СТЕРЕОМЕТРИИ
755
если / = -т=г, имеется одно решение (MN совпадает с ОО'); если —~ < /<а,
У2 V2
имеется два решения (в случае I = а— два крайних случая); при I > а нет решений.
3°. Вычисление а и ? при условии, что MN минимально. В этом случае треугольники ОАО' и QBQ' равносторонние и, значит, а = ? = 60°. Общий случай. Заметим, что MB2 = NA2 = а2-\-х2 — ах Y 2 = MN2; значит, треугольники MNA и MNB равнобедренные с вершинами N и M; значит, cos а = ==
X 0 BN 2Y~2 — x
= —, cos ? =-=- ; отсюда сле-
2 V хг — ах Y 2 + а2 2MN 2V X2 — ах Y2 — 02
дует, что cos а и cos ? одновременно в нуль не обращается. Значит, MN никогда не может быть перпендикулярна AC и FB. Это можно установить и геометрически: MN ±_ AB; и, значит, если MN X AC1 то MN будет перпендикулярна плоскости ABCD и, значит, не будет перпендикулярна BF.
а а 2Y2_29
Значение cos 2а при х = ^ . Если х= у, то cos 2а =-^-.
П. 2. Параллелепипед
1, abc Y— cos 2а (45° < а < 135°). 2. cos ср = /2 cos а, если 45° < а < 90°; cos ср =
п_ 1 ЇЧ SiIl а COS2 а sin Ф
= /2 cos (180° — а), если 90° < а < 135°. 3. -г/Чт= , , ч ,-г '
1 4 7 ^ 3 У COS (а -\- ср) COS (а — ср)
4. 21/"2 d2 sin а tg ? cos (45° — а). 5. cos х = sin а sin ?. 6. Если 0° < а < 60°, то существует только один параллелепипед, удовлетворяющий условию задачи. В двух противоположных вершинах этого параллелепипеда будут сходиться ребра, каждая пара которых образует угол а. Объем этого параллелепипеда равен
V = 2а3 sin у j/~sin ~- sin ~ . Если 60° < а < 90°, то, кроме указанного параллелепипеда, можно построить еще один: в двух противоположных вершинах этого параллелепипеда будут сходиться ребра, каждая пара которых образует угол
ЗОЇ OL
— COS -g- COS -g- .
7. abc sin a sin ?. 8. Yau i? + b cos a) (b -f- a cos a). 12. Секущая плоскость должна быть параллельна большей диагонали основания и составлять с плоскостью осно-
a VQ
вания угол, косинус которого равен tg -^-. 13. -^- sin a.
П. 3. Призма 4fsin Y-f-l/2cosa j
2. a26 sin a sin fi. 7. ----— 5. 9. arccos (tg ).
a a /-s- \ Z /
sin ~2 -)- cos -g- + У 2 COS a
/?3 sin ~ COS2 ~ tg ? „2l/T/„ іл їй
8sin6^45°+~) 4
П. 4. Треугольная пирамида
1. I а* sinУс-^. 2. -О.** cos* a sin «. 3.1 5. sin | = lQ±|~UfL.
fes —д3 4 „ 6-а t . a/4&2 — я2 t
6. и =-tg a. 7. •-r=-tgcc. 9. -tga.
12 2/3 2(a + 26)
2^3sin (|-+30°) sin (|— 30°) cig41- .
11. -ii-/-^-L-=_. 12. t/ = -^-sin2<ptg<,
9я sin2|-
s = ^El (l + sin J sin <). 13. i- sin2 a cos Ij/"sin(60°+|)sin(60o-|-).
?a ^ тс sin2 a ^ a2
14. _ cosec-f. • 6V-3a^_slni^cos2!L) ' ' 2/2 sin«'
Ответы. Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
Z3 ? Г 6 in c-cos ? — 6 cos 7
:. jl em P т/ cos* 1-- cos2 a. 19. cos 9 = ± f ,
3 2 r 2 у 62+ c2 — 26c cos a
_ / 2 _a_
be У*1 + 2 cos a cos ? cos Y — cos2 a — cos2 ? — cos2y [ 2
згс cos
|/*c2 sin2 ? + 62 sin2 7 + 26c (cos 7 cos ? — cos a) * * V |/*3
26. «^^-±4±l,,n-a + P + W--^
П. 5. Многоугольные пирамиды
.2 сіп2
a
l.^sin>|/cos«. 2.2/^^45=-^.4.--3^. 5. j?L*.(2_?)
sin2 -^-
ч ~ л3 sin 2a cos a sin3 ? /и Л m ,/¦«7
(a — в градусах). 6. — —. 7. агс cos —— ,0 < — < У 2.
У 2 sin3 (a + ?) riy 2 Л
9. arctg———, если п^ту2; если п с ту 2, re пений нет. 10, <z2sin3a, 45° < а < 90°«
2/2/72/2
(sin-^- + 1^— COSa ) (2 sin -^-— "j/"—-COS а ) .
\ 2 і / V 2 / 10 /2COS а sin 2а P2 sin 2а
11. т- \ 2 7- —г • і-*. —о „5„9_____о.. • —ті—•
(sin-^-—COSaJ (2 Sin ~ +V— COS a J
* 2 sin2 a cos За" За
cos cos р
14. _|/з-?——. 15. j Q sin а /q cos а. 18. і q тл? tg a tg p.
sin3 -g-
20. sin- = -^J=; 5іпі = і/"?-и±*!>. 21. -^-slnatgj. 22. 2arctg*i—
2 2/l+&2 2 ' 3 + 4&2 2 6 2 & 2
либо ~ — 2 arc tg /я. 23. 2*^* (1 + cos a). 24. a2 sin a ctg ^45° — .
fl3 sin2 a tg cp tg ф
25.
6 i^tg cp cos у + tg ф sin u
cp — двугранный угол, об вершину пирамиды и мень
j/" cos2 3sin2— ? sin -^- + 3 cos ? |/" cos2 ~--3 sin2 ~ ^
6 (/3 sin ? sin j + cos ? ]/~cos2 ~ — 3sin2 j )2 27. ^K2c2±/4^=p: c°s?=j/~^±|A|ZZ.28. -?-^tg2f Va(a--26).
— где cp — двугранный угол, образуемый основанием и плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и меньшую диагональ основания.
26,
TZ
cos —
tl _~ п
29. sin-o- = cos a sin - . 30. tgx = tga cos — . 31. SJn77 =-. 32, — tg —
2 n 2 a я6л