Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
751
2°. Каждое из соотношений (2') или (2") влечет за собою соотношение (1). Пусть I sin и I = 21 sin V |. Тогда sin2 и = 4 sin2 г/, 1 — cos 2w = 4 (1 — cos 2v), cos 2w = = 4 cos 2t; — 3, cos 2a — cos 2v = 3 (cos 2ї; — 1), откуда sin (a+*/) sin (a — 0. Аналогично из | cos a | = 2 | cos ї/| следует, что sin (и + v) sin (w —1/)< 0. Предположим теперь, что выполнено соотношение (2') 4 cos ср — cos 6 = 3. Тогда 4 (1 — cosg) =
= 1 — cos Є, 4(1 — cos ср) (1 -f- cos ср) = (1 —- cos Є) (1 + cos ср), 4 sin2 ср = 2 sin2 у X
і. O I oin ,л I — 1 9 сіп А гле 1. 9|sin9| —|sinlii + sin-?^.|. (3)
и sin в T"^ одного знака, ибо тогда
j 6 + <р , Є — о I I 6 + 9 I , I 6 —ср I „
sin —i~ + sin —2*"^ = sin —+ sin —2-1-1. Перепишем для этого соотношение (3) следующим образом: 2 j 2 sin -|- cos -— | = 12 sin у cos ~ ; поделив ойе части на 2 cos ~ I (это выражение отлично от нуля, если точки MuN различны),
Остается показать, что sin
2
> *
е-
получим j sin ~ I = 2 J sin ~ I, и, значит, sin + ~J sin ^ — < 0. Аналогично
доказывается, что из (2") следует (1).
3°. Условие, которому должна удовлетворять длина отрезка CH для того, чтобы имело место соотношение (1). Обозначим через / точку пересечения MN с Х'Х. Проектируя равенство CH = СО + OI + IH на Х'Х и замечая, что алгебраические проекции OI и IH на Z'Z соответственно равны R cos ср и 0, по-лучим CH =--j- cos 6 + R cos ср = -j- (4 cos ср — cos 6). Мы видели (1° и 2°), что для
выполнения соотношения (1) необходимо и достаточно, чтобы 4 cos <р — cos 6 равня-
_ 3 3
лось или +3, или —3; значит, CH= R1 а потому CH = ¦^- Отсюда следует,
3
что MN касается окружности с центром С и радиусом R. Эта окружность проходит через точку А.
В. 1°. Свойство прямой АН. Пусть К—точка, в которой продолжение АН пересекает окружность (О). Эта окружность (О) гомотетична окружности (С) относительно точки А, значит, касательная в точке К к окружности (О) параллельна касательной в точке H к окружности (С), т. е. прямой MN. Отсюда следует, что точка К есть середина дуги MN1 а потому AK (или АН) — биссектриса внутреннего угла MAN.
Геометрическое место точек /. Точка / есть точка пересечения АН с биссектрисами внутренних углов MkN треугольника AMN. Применяя к треугольникам АМН и ANH свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника, будем иметь IA = МА_ IA ^ NA c\Tit\T л я IA _ МА _ НА - MA +NA _ AM+ AN .
NH" MH + NH ~ MN 1 /Л
2 и, значит, -=¦ = — 2. Теперь IH
IA IH IH-IA АН AI 2 „,
находим-=-=-=-; значит, = —. Точка / получается,
-2 1 1+2 3 АН З У
следовательно, из точки H гомотетией ^A1 значит, геометрическим местом точек / является окружность, полученная из окружности (С) указанной гомотетией; радиус этой окружности равен — • = -~; это окружность, построенная на OA как на диаметре.
Геометрическое место точекjT. Точка /' гармонически сопряжена с точкой /
I' A AV
относительно точек А и Н\ значит, = 2, отсюда-=- = 2. Таким образом, геомет-
ГН АН
рическое место точек /' есть окружность, полученная из (С) гомотетией (A1 2). Эта окружность проходит через А и имеет центр в точке, диаметрально противоположной точке А относительно окружности (С).
2°. Гипербола, проходящая через M и N, имеющая фокус А и соответствующую ему директрису CH. Расстояния от точек M и N до прямой CH соответственно равны MH и NH. Выше .было доказано, что и равны-^ = 2.
IA
і - ¦ —
MA
1 IH
MH
IA
2MN
HI ~
MN
Ш
752
Огветы. Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
Значит точки M и N лежат на гиперболе, имеющей фокус Л, соответствующую ему директрису CHn эксцентриситет 2. Пусть P — проекция А на CH. Вершины
5 и S' гиперболы суть точки, которые делят вектор AP в отношениях 2 и —2. Выше мы видели, что точки I и /' делят АН в тех же отношениях и получаются
из H гомотетиями (л, —^j и (Л, 2). И здесь точки ShS' из точки P получаются
теми же гомотетиями. Геометрическое место точек P есть окружность, построенная на AC как на диаметре, и, значит, геометрические места точек ShS' есть окружности, полученные из этой окружности указанными гомотетиями. Пусть <о — центр гиперболы. Точка со — середина SS'. Взяв на прямой Ло» положительное направле-
_ 1 — _ 1/2— _ 4 —
ние от Л к а), будем иметь Ао> = j (AS + AS') === i-j AP + 2AP) == AP. Значит, геометрическое место точек со получается из окружности, построенной на AC как на диаметре (являющейся геометрическим местом точек P)1 гомотетией (л, —
это окружность (<*>), построенная на АО как на диаметре.
Свойство асимптот. Известно, что если а — острый угол асимптоты-гиперболы
с ее фокальной осью, то cos а =-^- = ~- В нашем случае cos а = ~ и, значит,
а = ~. Таким образом, асимптоты образуют с осью с*>0 (не фокальной) острые о
углы -^-; они, следовательно, проходят через две фиксированные точки: J и /', которые мы получим, отложив на окружности (со) от точки О по одну и другую сторону дуги . Заметим, что точки / и /' являются точками пересечения с (ш)
