Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
sin (OY, OZ) == (z sin ? — у sin 7), откуда x sin (OF, OZ) == (z sin ?—у sin 7). Аналогичным путем можно получить еще два соотношения, которые получаются из этих круговой перестановкой букв (X, Y1 Z), (х, у, z) и (а, ?, 7): у sin (OZ, OX) ===
= -Щ| (-* sin 7 — г sin а), г sin (OX, OY) == (у sin а—л: sin ?). Складывая, получим X sin (OF, OZ)+ у sin (OZ, OZ) + г sin (OZ, OF) ==0. (1)
* Надо построить окружность (со) радиуса / с центром <о, лежащим на NA1 касающуюся DH в точке Н. Если тогда соединить N с со и обозначить точки пересечения окружности (ш) с JVw через и то Ni'cNi'b = ЛГ#2 и ЛҐ/? — == 21; отсюда NM == Na.
748
Ответы. Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
Доказано, что соотношение (1) есть необходимое условие того, что точки Ay В vi С являются ортогональными проекциями на OX7 OY и OZ некоторой точки М. Для того чтобы доказать, что условие, выраженное равенством (1), и достаточно, предположим, что точки А, В vi Cy расположенные соответственно на OXy OY и OZy таковы, что соотношение (1) выполнено. Обозначим через С точку (отличную от 0), в которой OZ пересекает окружность, описанную вокруг треугольника ОАВ. Перпендикуляры к OX в точке A vi к OY в точке В проходят через точку О'у диаметрально противоположную точке О на окружности (Г); значит, точки А и В, а также и С суть ортогональные проекции точки О' на OX, OY и OZ1 а потому, полагая ОС' ='2', на основании необходимого признака будем
иметь X sin (OY, OZ) + у sin (uZ, OX) + z' sin (OX1 OY)=O. Сравнивая с (1), которое выполнено по предположению, получим z' = Zy а, значит, точки С vi С совпадают, а потому точки А, В и С являются ортогональными проекциями точки О' на осях OXy OY и OZ.
2°. Для того чтобы три точки А, В vi С лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы точки А', В', С, полученные из них в результате инверсии (О, р), лежали на одной окружности, проходящей через точку О. Для этого необходимо и достаточно, чтобы точки А'у В'у С' были ортогональными проекциями на OXy OY и OZ
—> —> —> -V -V —>
одной и той же точки или чтобы х' sin (OY, OZ),+ у' sin (OZ, OX) + z' sin (OX, OZ) =
A9 y' = A X J у
sin (OY, OZ) , sin (OZ, OX) , sin (OX, OY)
= 0, где xf = OA', yf = OB', z' = ОС; но ^ = ^-,/=A ^ = JL9 значит,
xyz
(2)
Предположим, что прямые AiB1, A2B2 vi A3B3 пересекаются в одной точке, и пусть OZ — прямая, которая соединяет точку О с общей точкой этих трех прямых. Точки Аь B1 и / расположены на одной прямой и соответственно на осях ОХ, OY, OZ; значит,
sin (OY, OZ)
, sin (OZ, OX)
, sin (OX, OY)
1 Уг
1
Аналогично, рассматривая
точки A2, B2 и /,
с одной стороны,
с другой, получим:
sin (OY, OZ)
, sin (OZ, OX)
, sin (OXy OY)
X2
У2
1
sin (OY, OZ)
, sin (ОЇ, OX) ,
, sin (OX, Op)
I v I
Уг
1
0.
0,
Вычитая из второго равенства третье, из третьего — первое, а из первого второе, получим:
(і - i)sin Hi-i)sin ^ °*>=°' (і - i)sin ^ 0?>+(тг- тг)sin <0* =°' (і - i)sin <0"' о1>sin & =°-
Умножая обе части первого равенства на —, второго — на — и третьего — на —
Xi X2 X3
и складывая почленно полученные при этом равенства, будем иметь
Vxx\y2 Уз/ х2\у3 у 11 X3Xy1 у2)] Так как точки A1, A2, A3, по предположению, различны, то точка / не может быть
—>
расположена на оси ОХ; значит, оси OX и OZ различны и sin (OZ, OX) ф 0, поэтому
_L(_L_JL) + _L(_L_ M + JM Ч = 0. (3)
Х1ХУ2 Уз J X2 X Уз Ух I X3 X У і Уг)
Это условие получено как необходимое условие того, что прямые ^1B1, A2B2 и A3B3 пересекаются в одной точке. Докажем, что оно и достаточно; предположим, что
Ответы. § 3. ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ
749
точки Ax, A2, A3 на оси OX и Bx, B2, B3 на оси OY выбраны так, что оно выполнено. Обозначим через / точку, в которой пересекаются лтрямые A1B1 и A2B2, а через A3 —- точку, в которой IB3 пересекает ОХ. Полагая OA3 = х3, будем иметь
JWJ___LW WJ___LW JWJ___LW0-
XiKy2 Уз) X2 К Уз Уі) х3Куі Уг)
сравнивая это с (3), найдем X3 = х3, т. е. точки A3 и Ag совпадают. Значит, прямая A3B3 также проходит через точку /.
Замечание. Мы доказали, что если прямые A1B1, A2B2 и A3B3 проходят через одну точку, то соотношение (3) выполнено. Можно доказать, что соотношение (3) выполнено и в том случае, когда эти прямые параллельны между собой. В самом деле, в этом случае Xx = Xy1, х2 = Iy2, X3 = Xy3 и соотношение (S) легко проверить. С другой стороны, при доказательстве достаточности условия (3) мы предполагали, что A1B1 и A2B2 пересекаются; предположим теперь, что соотношение (3) выполнено, a A1B1 и A2B2 параллельны. Обозначая тогда через A3 точку, в которой прямая, проведенная через ZJ3 параллельно A1B1 и A1B2, пересекает ось ОХ, как и выше, докажем, что A3 и A3 совпадают. Окончательно можно сказать, что соотношение (3) есть необходимое и достаточное условие того, что прямые A1B1, A2B2, A3B3 проходят через одну точку или параллельны между собой.
