Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
82. Бочка вместимостью 40 ведер снабжена двумя кранами. Через первый кран вода вливается, через второй выливается. Если бочку наполнить водой и затем открыть оба крана, то через 10 мин. в бочке останется 20 ведер воды. Сколько воды осталось бы в бочке (предварительно наполненной водой) по прошествии 3 мин., если бы первый кран наполнял бочку на одну минуту раньше, а второй опорожнял ее на одну минуту позднее, чем им в действительности для этого требуется. Во сколько минут один первый кран может наполнить бочку, если она предварительно не содержит воды?
7 П. С. Моденов
98 Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
Во сколько времени один второй кран может опорожнить бочку, если бочка предварительно налита полностью?
33. Расстояние по железной дороге от А до В 150 км и от В до С 60 км. Пассажирский поезд выходит из С в то самое время, когда скорый выходит ему навстречу из А. Пассажирский поезд останавливается в В на 30 мин. и, выйдя из В, через 10 мин. встречает скорый. По прибытии пассажирского поезда в Л и скорого в С, они идут обратно, выйдя опять из этих мест одновременно и идя с теми же скоростями, как и прежде. Но скорый поезд был задержан на 6 мин. в В и пришел к месту, где поезда встретились в первый раз, в то время, когда пассажирский поезд прошел только
9
-g- расстояния от А до этого места. Найти скорости поездов.
34. Бассейн наполняется водой из двух кранов. Сначала первый кран был открыт одну треть того времени, какое нужно было бы, чтобы наполнить бассейн, открыв только второй кран. Затем, наоборот, второй кран был открыт одну треть того времени, которое требуется для наполнения бас-
13
сейна одним первым краном. После этого оказались наполненными -j^ бассейна. Вычислить, сколько времени нужно для наполнения бассейна каждым кранам в отдельности, если оба крана, открытые вместе, наполняют бассейн за 3 час. 36 мин.
35. Найти четырехзначное число по следующим условиям: сумма квадратов крайних цифр равна 13, сумма квадратов средних цифр равна 85, цифра тысяч на столько же больше цифры единиц, на сколько цифра сотен больше цифры десятков; если же из искомого числа вычесть 1089, то получится число, записываемое теми же цифрами, но в обратном порядке.
36. На участке реки от А до Б течение так слабо, что его можно принять равным нулю; на участке же от Б до В оно достаточно быстро. Лодочник проплывает расстояние от Л до Б за 3 час, а вверх — от В до А за 3 час 30 мин. Если бы на всем протяжении от А до В было такое же течение, как от Б до В, то весь путь от А до В вниз занял бы 2 час. 45 мин. Сколько времени потребовалось бы в этих условиях для того, чтобы подняться вверх от В до А?
37. Найти трехзначное число по следующим условиям: а) его цифры составляют геометрическую прогрессию; б) если из него вычесть 297, то получится число, написанное теми же цифрами, но в обратном порядке; в) если к цифрам данного числа прибавить соответственно 8, 5 и 1, то полученные суммы составят арифметическую прогрессию.
38. Найти четыре числа, составляющие геометрическую прогрессию, если известно, что после того, как к ним прибавить соответственно 1, 1, 4 и 13, они будут составлять арифметическую прогрессию.
39. Два поезда отправляются одновременно из А и В навстречу друг другу. Скорость первого поезда на 10 км/час больше скорости второго. Оба поезда встречаются на расстоянии 28 км от середины AB. Если бы первый поезд отправился из А на 45 мин. позже второго, то оба поезда встретились бы на середине AB. Найти расстояние AB и скорости обоих поездов.
40. Учитель предложил трем ученикам перемножить два числа. После умножения множимого на отдельные цифры множителя один из учеников при сложении частных произведений забыл удержать в уме одну единицу некоторого разряда. Разделив при проверке результат на множитель, он получил в частном 971, а в остатке 214. Второй ученик в указанном разряде не сделал ошибки, но при сложении цифр следующего разряда забыл прибавить двойку. Делая проверку таким же образом, как первый, он получил в частном 365, а в остатке 198. Третий сделал подобную же ошибку на единицу в следующем высшем разряде и получил при проверке в част-
§ 15. СОСТАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
99
ном 940, а в остатке 48. Определить данные для умножения числа и указать, в каких местах были сделаны ошибки.
41. Вода втекает равномерно в баржу через образовавшееся в ней отверстие. Насосы Л и B1 которыми снабжена баржа, таковы, что поршень насоса А делает три хода, в то время как поршень насоса В делает два хода; четыре хода поршня насоса В производят то же действие, что и пять ходов поршня насоса А. Насос B1 качавший воду в продолжение такого времени, в которое насос A1 действуя один, выкачал бы всю воду, перестает действовать, а затем насос А выкачивает всю воду в 3 час. 20 мин. Если бы оба насоса действовали вместе с самого начала, то всю воду они выкачали бы в 3 час. 45 мин., причем насос выкачал бы ста ведрами больше, чем прежде. Сколько ведер воды было в барже, когда насосы начали действовать? Сколько воды в час втекает в баржу? Сколько воды в час выкачивает каждый насос?
