Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Моденов П.С. -> "Сборник задач по специальному курсу элементарной математики" -> 368

Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.

Моденов П.С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики — М.: Высшая школа, 1960. — 766 c.
Скачать (прямая ссылка): szpskemmodenov1960.djvu
Предыдущая << 1 .. 362 363 364 365 366 367 < 368 > 369 370 371 372 373 374 .. 381 >> Следующая


117. Г. Число условий, определяющих равнобочную трапецию, площадь которой равна 1 м2. Чтобы определить трапецию вообще, нужно задать четыре стороны. Так как трапеция равнобочная и так как задана ее площадь, то два условия уже заданы и остается задать еще два условия, например: 1) ? и ?'

1 ? + ?' и г И (тогда находим х = ^ и А из равенства хп = 1

2) р и А;

3) ?' и А;

4) р и X]

5) ? и 6;

6) ?' и 6

о=

и т. д.



Вычисление р в функции б И Xi

1 2 — cos 6

sin в

= 1/з.

2(/3-tgl)

полагая

/3Ig-

: tg <р, находим р = — У 3 —щ + X и, значит, pmin =

742 Ответы. Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

3°. Определение трапеции, для которой р минимально.

Vs г-Х 4г-?=-Vx) +2/3,

4

4a- 4__ 2

значит, (рт{п) . = 2 у 3 при х = у 3 ; при этом ЛВ = ВС = -~

/27

пеции ЛВС?> имеем ЛВ = ВС = CZ).

Итак, в тра-

2рг

118, Указание: л = -^—. Далее, 6+ с = 2/?-

мулы же г роны 6 и с

-/5

A

находим 6с:

• 2р h ^ Г . Из фор-

. 2/г —2г _ + J^2—?—. Сто-

р h — 2г 1 ^ /г

корни соответствующего квадратного уравнения; эти корни

h~^r~ і r V^"Ж ~~ h —- 2? ~~ 0НИ и ^удУт (если задача разрешима) значениями

ЛВС бис. Углы находим из соотношений г = (р — a) tg у == (р—6) tg = (jp —- с) tg -g-.

2°. tg у- = 1; отсюда 2pr = (p — r) h.

3°. Необходимо и достаточно выполнение следующих трех условий: ^ >0; б) найденные выше значения для бис положительны;

д — 2г

в) 6 — с<а<6 + с (где 6 > с).

9 3

Условие а) при р = б и /г = 3 дает или г<!—, или г >у. Условие б) будет

выполнено, если 6 + с > О, 6с > 0, отсюда г < у; но это условие будет выполнено,

9 3

если г<-рг, т. е. уже при выполнении условия а). Условие а < 6-|-с дает г < ,

что следует из Условие а > |6 — сI имеет вид > 2гу/~? —-А

г?2 /?2 A или|г>-р-~И?,т. е.

/г2 Л— 2г'

при г < •^S итак, г < -

^ 2Г > О» A — 2г > 0, г < у, что опять выполняется

4°. Если р = 6, й = 3, г = 1, то а = 4, 6 = 5, с = 3, В = 90°, Л = arc tg j, З

C = arctg j.

119. 1°. Будем считать, что В С. При этом условии угол w — это угол Л?>В (черт. 309):

^ _/ sin и sin Л_ и / sin ц ^ _ / sin ц

sin (и — у) sin (и + у) sin (и—-у) sin (a + ^

Для построения треугольника строим сначала прямоугольный треугольник DAD' с заданными катетами / и /'. Затем строим лучи AB и AC такие, что ?BAD =

= /.DAC = у-. Условие возможности:

.Л Л Z'

^ "2" < ^ «или tg-2-<y.

2°. Угол ЛЛ/У = 90° (черт. 310); значит, точка Л расположена на полуокружности с диаметром DD' (мы предполагаем, что вершина Л лежит над прямой DD'). Однако точка Л не может занимать любое положение на этой полуокружности. В самом деле, точки В я С гармонически сопряжены относительно пары точек D и D' (черт. 311), и точка D (конец внутренней биссектрисы) должна быть между ними; значит, точка С должна быть расположена на продолжении отрезка D1D за точку D. Пусть AX — луч, исходящий из Л, параллельный D'D и идущий

Ответы. § 3. ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ

743

в направлении луча D'D, тогда

DAX> у, т.

е. D1DA >

A_t

2 ;

значит, точка А

может занимать на указанной выше полуокружности лишь те положения, которые

А *

отделены на этой полуокружности лучом DAU таким, что ?D''DA1 =-7)-

Точки, через которые проходят AB и АС. Пусть / и У—вторые точки пересечения прямых AB и AC с окружностью (Г), построенной на DD' как на

А

диаметре. Соединим их с точкой ?>'; имеем: (D'D, D'I) = (AD, AI)=(AD, AB) = — ,

А

(D'D, D'J) = (AD, AJ) = (AD, AC) = -g-; значит, точки I и J расположены симметрично по отношению к D'D. Ясно также, что D'I и DrJ симметричны DAx относительно точки О и по отношению к медиатрисе у'у отрезка DD'. Иначе говоря, точка I симметрична с точкой Ax относительно б, а точка J симметрична с точкой Ax относительно у'у. В то время как точка А описывает свое геометрическое место от D к Ax, точка В идет из D влево до точки О, а точка С от D идет вправо — в бесконечность — она описывает полупрямую Dx.

Построение треугольника ABC. а) Дана середина А' стороны ВС. В то время как точка А описывает дугу DAx, середина А' отрезка ВС описывает полупрямую Dx. Таким образом, задача имеет решение лишь в том случае

Черт. 310.

Черт. 311.

когда точка Аг расположена на полупрямой Dx. Если это условие выполнено, то точки В и С суть точки, в которых прямая DD' пересекает окружность, ортогональную окружности (Г) с центром А', радиус которой равен отрезку касательной, проведенной из точки А' к окружности (Г), б) Дана точка Я, из которой отрезок ВС виден под прямым углом. Окружность с диаметром ВС, который ортогонален окружности (Г), должна пройти через точку Р. В то время как точка А описывает дугу DAx окружности (Г), окружность с диаметром ВС (эта окружность принадлежит пучку окружностей, для которого точки D и D' — предельные) изменяется так, что она пройдет через все точки плоскости, расположенные справа от прямой у'у. Итак, точка P должна быть расположена справа от прямой у'у. Если это условие выполнено, существует только одна окружность, проходящая через точку P ортогонально (Г), центр которой расположен на прямой х'х. Эта окружность проходит через точку P' — четвертую гармоническую к точке P относительно точек, в которых прямая OP пересекает окружность (Г); ее центр — А' — точка, в которой медиатриса отрезка PP' пересекает прямую х'х. Радиус этой окружности А'Р, а центр А'.
Предыдущая << 1 .. 362 363 364 365 366 367 < 368 > 369 370 371 372 373 374 .. 381 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed