Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
Исследование. Условие возможности решения задачи
5 cos Л 4- 4. л 5 cos Л — 4 ^ л 5 cos Л + 4 5 cos Л — 4
--J—>0, -s—>0, --г1—>-—.
cos Л cos Л cos Л cos Л
Все эти условия будут выполнены, если
4
созЛ>-^-. (4)
2°. Медианы, выходящие из 5 и C9 взаимно перпендикулярны. Построение треугольника (T)9 если заданы вершины B9 С и угол Л. Пусть Л1 — середина стороны ВС какого-нибудь треугольника (T) (ABC) и G — центр тяжести этого треугольника (черт. 304). Для того чтобы BGC = 90°, необходимо и достаточно, чтобы
GM = у— = у > или
а2
GM2= — ; 4
лш 2Ь2 + 2с2 — а2 но Л M2 =--, поэтому
(АМ\2 2b2 + 2c2 — a2 v /кх
= I ~3~ ) =--• Условие (5) принимает
262 + 2с2--л2 a2 ,, . 2 к . _
вид--= —г-, или б2 + с2 = 5л2. 06-
OD 4
ратно: если выполнено это последнее соотношение, то будет выполнено и соотношение (5). Построение треугольника (T)9 для которого заданы вершины В, С и угол А (черт. 305). На
отрезке ВС строим дугу, вмещающую угол Л; MG = ~ , значит, MA = ~,
а поэтому точка Л должна быть расположена на окружности с центром M и
740
Ответы. Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
За
радиусом -у. Эта окружность пересекается с дугой, опирающейся на хорду ВС
и вмещающей угол Л, тогда и только тогда, когда MN> или BM ctg¦J,>^,
. А ^ W 4\
откуда tg 2"<*з- (это условие получается и из cos ^4>-g-J.
Черт. 305.
Черт. 306.
3°. Геометрическое место центров тяжести треугольников (T). Пусть а задано. Тогда GM = у, GA = а и, значит, точка G описывает эллипс с полу-
осями а и у (черт. 306).
115. Радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников ABM
*Г>ЛЖ Г> ЛМ П АМ ,d D і ЛЛІ I Sin С-Sin В I
и АСМ; #і=2!їїГв' A2A2smC' 0ТКУда \ri—R2\ = ~k- 1 „ . ^ '¦ или |с— ^ I
2sin С» J" 1 1 21 2 sin В sin С Если H— основание высоты, опущенной из А на ВС,
T — точка прикосновения к стороне ВС окружности, вписанной в треугольник ABC,
1
a D — середина стороны
ВС, то АН = Ь sin С, BT = p — b = j(a + c — b),
BD = ^9 TD = j\c — b\ и, значит, IA1-P2I =
AM-TD ^ п пьг
= ——. Опустим из точки О перпендикуляр OK
на IT. Треугольники АМН и OIK подобны, откуда
~, AM• TD . п п . ~,
о/ =-тп— ; следовательно, IR1 — R21 = W.
AtI
116. Г. Вычисление Ь н с. Имеем а2 = b2 ~f-
+ с2—26с cos Л. Так как с = 26/ то я2=562—462 cos Л,
і а 2 a ^
откуда 6 = п_ с= _ Так
Yb-
/5 — 4 cos Л *
Черт. 307.
- 4 cos Л
как 1 < /5 — 4 cos Л <3, то |6 — с | < я < 6 -|- с. Следовательно, при любом Л (0 < Л < 180°) существует треугольник, удовлетворяющий условию.
2°. Построение треугольника. Для построения этого треугольника построим на прямой отрезок ВС = а\ построим дугу, вмещающую данный угол Л, и окружность, для всех точек Л которой AB = 2АС. Эта дуга с построенной окружностью - пересекаются всегда в одной точке (черт. 307).
t . л t be sin Л 0 sin Л .. Л 3. Изменение h. ah = be sin Л, откуда h =--—=2а?-г--т. Угол Л
изменяется в интервале (0, тс). Так как sin Л ¦¦
2tgT
• 4 cos Л 1
1 + tg-
Л '
cos Л = -
то
1+tg2
Ответы. § 3. ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ
74і
п = 2а
2tg4
f Л
3 tg
л_
2
5 + 5tg2-i-4 + 4tg2 A l + 9tg2^-
4_ t?f ср 2
3
Полагая
3tg-^- = tg<p, получим A = -^-a ^ _jftg2 ? = у fl sin 2У- Так как 0 < Л < тс, то
cos Л = ; значит, при 0 < Л < arc cos А возрастает от 0 до -д- я,
tc
Черт. 308.
О < -у < у; значит, при изменении Л от 0 до тс, 3 tg монотонно возрастает от 0 до +со, значит, и tg<p изменяется от 0 до +со. Поэтому можно считать, что
0 < <р < у, а тогда при 0 < <р < ~, sin 2<р монотонно растет от 0 до 1, а при
-5- монотонно убывает от 1 до 0. Если <р = , то tg9 = 1, 3tg~- = l, . А 1
tgT = -3,
а при arc cos — < Л < •^- А убывает от до 0. Замечание. Из черт. 307
о
ясно, что если угол Л изменяется от 0 до тс, то А сначала возрастает от 0 до
радиуса окружности (Г) ^он равен ,
а затем убывает от -у- до 0.
4°. Определение А, если задано Н. Если задано А, то угол Л находится из условия 9А tg2 -^- — 4а tg -^- + /г = 0; корни этого уравнения относительно
tg -^- должны быть действительны и положительны, что будет тогда и только тогда,
когда дискриминант неотрицателен: 4а2 — 9А2 > 0, A < ~.
5°. Геометрическое место середины Лі? и середины биссектрисы угла А.
Выше мы видели, что если Л возрастает от 0 до тс, то точка Л описывает полуокружность окружности (Г), расположенную над прямой ВС. Для заданного положения точки Л середина AB получается из Л при помощи гомотетии ^B, ^j.
Значит, геометрическое место точки M есть полуокружность, полученная в результате гомотетии полуокружности (Г), расположенной над ВС; эта полуокружность также расположена над ВС с центром D и радиусом DC Аналогично находится геометрическое место середин AD.
